Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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les quantite's ineonnues des equations') erkilirt. Er zeigt den
Gedankengang zaerst an den speziellen Gleichungen z2 + Pz- + Q ==0
= —( - w) (v -1- A) und z' + pz2 + qz ~ r =- 0 = ( - w) (z2 + az + b),
wo w die gemeinsame Wurzel und A, a, b unbestimmte Koeffizienten
sind. Daraus folgen
(Z' + Pz + Q) (z2 + az + b) == (Z3 + pZ2 + qz + r) (z + A),
und die Bestimmungsgleiehungen P + a = p + A, Q + Pa + b
q +jpA, Pb + Qa == qA + r, Qb rA, welehe dureli Elimination
von A, a, b das erwiinschte Resultat liefern.
Wilhelm Otto Reitz (1702-1768), emn Lehirer in Rotterdlam
und Middelburg, verdffentliehte eine Schrift 2) llber die Auflisung der
Quartik, wormn er Kunstgriffe angibt, urn Fille, zu ldsen, wo durch
Addition eines Trinoms a' X2 + 2 a bx + b2 zu beiden Seiten, die Seiten
Quadratformen annebmen k~5nnen.
Be'zouts Untersuehungen fiber die algebraische Auflissung vonl
Gleichunigen ftihfrten ihn zn dem Eliminationsproblem. Er fand, da1B
Newtons Eliminatiousmethode, durch Aufsuchung des gr6B1teii gemeinschaftlichen Teilers, 6ifters fremde Ldsungen gibt, daB das Verfahren von Euler und Cramer, durch symmetrische Funktionen,
nur auf zwel Gleichungen mit zwei Unbekaunten auf einmal anwendbar ist. lin Falle mebrerer Gleichungen miisse man sie paarweise
nehmen und die Endgleiehung sei hdheren Grades als notwendigr ist.
In einer Abbandlung Sur le degre6 des equations re'sultantes de
l'&vanouissement des inconnues3 fiingt Be'zout mit einem
Lemma an, urn die Resultante von n linearen Gleichungen mit n Unbekaunten zu finden. Sind a, b, c, d,... die Koeffizienten der erstena
Gleicbung, a', b', c', d',.. und a", b", c", d",... diejenigen der zweiten
und dritten Gleichung usw., dann bilde man die Permutationen ab,
ba und schreibe ab - ba. Mit diesen zwei und c bilde man alle
mdglichen Perinutationen und beachte einen Zeichenweebsel, wenn C
in ab oder ba seine Stelle jindert. Man hat abc - aeb + cab - bac
+ bca- eba. Auf gleiche Weise verfalire man mit dem Buclistaben
d und den tibrigen Koeffizienten der ersten GleichUng. Setzt manl
den letzten Ausdruck gleich Null, so bat man die Bedingung, daB die
vorgelegten Gleichungen sitnultan seien. Diese Polynomen sind
Determinanten, die durch eine einfache Regel niedergesebrieben
werden k~innen. Be6zout schreitet dann zur Elimination zweier Un1)Histoire de l'acad. roy. des sciences, annee 176,Bri 76.9 i
104. 2) Verhandelingen uitgegeeven door de Hollandsche Maatsehappye der
Weetensehappen, to llaarlom, IX Deols 111. Stuk 1767, S. 1-43. 8)Histoirf,
do l'acad. roy. des sciences, ann~o 1764, Paris 1767, p. 288-3:38.