Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1074 ~~~~~Abschnitt XXVII.

gemeinerung ffur den Fall, daB v Differentialquotie-nten beliebiger OrdnUng enthiilt, und behandelt noch einige Thnliche Fragen unter der
Annalime, daB x niclit konstant, also 6x von Null versehieden 1st.
Von den praktischen Beispielen, die Le gen d re untersucht, seien das
Problem des Kuirpers von kleinstem Widerstand, der Kettenlinie und
der Brachistoclirone erwiihnt. Herleitung und Ergebnis der vorerw~hnten Kriterien sind bekanntermal~en unvollstiindig. Die ersten Bedenken iiu.Berte Legendre selbst'); in einer spiiteren Abhandlung
suelit er die stillschweigende Yoraussetzung, daB die llilfsgriiben a, /3, y
iinmer reell bestimmt werden k~innen, sowie die Mdglichkeit, die
Differenz
(a~y' + 2/3d 6yep -F y6'pl)j- (C"~ay2 + 2/3 6y dp + y6_p2)1
zum Verseliwinden bringen zu. kuinnen, dureli Reihenentwicklungen zu
erweisen; der Nachweis ist indessen ffur beide Behauptungen, von
denen die erste rielitig ist, unzureichend. Den Haupteinwand hat
jedoch Lagrange erhoben2): das Integral kann das Vorzeiehen
wechseln, wenn auch der Ausdruck unter dem Jntegralzeichen dies
-nicht tut, wie an dem Beispiel
x (1.
1- Jl-X)2
ersichtlich ist. Das Theorem von Legendre gilt nur, solange der
Ausdruck unter dem Integralzeichen endlich bleibt; urn aber darilber
zn entseheiden, braucht man die Funktionen a, /3, y selbst, und die
Erkennutis ihrer Existenz allein genflgt noch niclit. Immerhin bedeutet Legendres Versuch, die schwierige Frage zu. ldsen, und die
Art seines Vorgehens einen groBen Fortschritt.
') ilistoire de l'Acade'mie des Sciences 1787 (1789), p. 348. 2)Oeuvres,
t. ix, p. 303. Vg1. Ostwalds Kiassiker a. a. 0., Aum. 12.