Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Nbschnitt XXVII.

mittelbar ersicbtlich, bei Verwandlung von (Y in d identiscb verschwindet. Gleiches ergibt sich fUr die tibrigen Glieder von T
d. li. es wird, wenn man cY in d verwandelt, HI immer zu Null und
damit JWP~ const., also TP == 0. Ersetzt man also in dem. Ausdruck
TI'=-P6p+ Q~x +BRy +Sd,-+ -. das Zeichen Y dureli d, so
wird identisch Pdcp + Qdx + JRdy + Sdz +.. - = 0, d. h. eine von
den Maximum.-Minimumbedingungen ist eine Folge der anderna.
Lagrange kniipft hieran die Bemerkung, daB die M6glichkeit, 0i in
der Form X~dx)?I vorauszusetzen, ftir den Beweis wesentlich war, und
weist darauf kin, daB bei Differenzeingleichungen diese Yoraussetzung
im. aligemeinen niclit zutrifit. Endlick wird die Aufgabe, qi =f.Z
zu einem. Maximum oder Minimum zn macken, wenn Z selbst wieder
Integralzeicken enthillt, mit ililfe der vom. Integralzeichen freien.
Differentialgleickung ffir pg geltist, und das Problem der Brackistochrone nochmals eingekend behandelt.
Die Frage, ob im. einzelnen Fall emn Maximum. oder emn Minimum
vorliegt, wurde nach eiuem. mil~glfckten Versuck von L aplace'1) von
Legendre bekandelt, aber erst Jacobi gelang es, kinreichende Kriterien hierfiir aufzustellen. Als einfacksten Fall untersucht Le g e n d r e,,die Variation zweiter Ordnung"12) von J vdx, wo v eine Funktion
dy
von x, y und. p ==-Y allein ist. Er findet unter der Annalime Y x =0
y ~~dx
m~it Hillfe des T aylo rschen Satzes
6fvdxfdx (O* ~Yy2 + 22dydp 1 + 0
2dy 2aya 2dep? 2ap2
wofdir zur Abkiirzung
Jdx(P y+ 2Qdiydp + Rp2)
gesetzt wird. IDann ist identisch
6fvdx ==const. - a dy2
+Jd L(' + do y>2~ 2(Q + ca)6y~p + BRpdj
wo cc beliebig ist. Legendre nimmt nun a so an, daB sick der Aus')Nova Acta Eruditorum 1772, p. 293. 2) Histoire de l'Acadt~mie des
Sciences 1786 (1788), p. 9. Kurz zuvor unterseheidet Legendre zwischen a
ex
als dein Koeffizienten von dx in dem Differential von v und dv d. i dem dureli
dx'
dx geteilten vollst~indigen Differential von v. Vielleicht hat Jacobi, der diese
Unterseheidnng einbhtirgerte, diese Stelle gekannt.