Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Variationsreclinung. 17

1071?If = Pd' + Qdx +BRy +Sdo +...,
wo die Koeffizienten P, 9, B, S,. sich in bestimmiter Weise aus (P
berechnen lassen. Die Bedingung 6(p == 0 fair das Maximum oder
Minimum von cp fiihrt nun nach einigen U~berleguugen bezllglich
der Greuzen des Integrals f~fauf die Gleichung
Q6X+R~i +Sdz+...=0,
die je nach Zahl der Itelationen. zwischen den dx, dy,dz,.. in
weniger oder mehr Einzelglei chungen zerfijilt. Lagrange brinlgt
spilterhin 1) einen einfachen Bleweis seines Theorems, daB eine dieser
Einzelgleichungen immner die Folge aller librigen sei. Er benutzt
hierzu den Umstand, daB in der gegebenen Differentialgleichung '5P= 0
der Ausdruck (P immer auf die Form (P = L'dX'n gebraclit werden.
kann, wo L7 eine Funktion der Ver~inderlichen. T(, y, Y~,. und.
ihrer Abgeleitete-n nach x bedeutet. Dann ist
r = n Ldx/1OdI (x + dx'" 4;
wegen (P 0 ist aber audih 2: == 0, also 6Y(P = d xrn16 '. Sei nun
dI dX
dd y
+ Qd + ad, + pf6d1
d z
+ r6dx,
so wird man nach Multiplikation. mit ~ dxtml und partieller Integration
(wobei nur die Gr613en 6x, 6dp, dz,.. unter dem Integralzeichen
bleiben diirfen) wieder auf den Ausdruck H +J f stoBen. Lagrange
zeigt nun,2 daB der Ausdruck Hi identisch Null wird, weun man das
Zeichen d durch d ersetzt; er betrachtet zu diesem Zweck die emnzelnen. Glieder von d27. zi~ dp ist keiner partiellen. Integration der
verlangten Art flihig, es wird daher ganz unter dem Integraizeichen
bleiben. Das Glied zr' f~ wird zuerst -'6~ dp dd;d nach Multiplikation mit ~dx'"l, VertausehUng von dd(P, ddx mit ddqp bzw.
(Ic~x und partieller Integration erhdlt mian als Glied aul~erhalb des
Integralzeichens den Ausdruck ~;r'dxnm (F d~p 8 der, wie und x di2,'

1) Miscellanea rTaurinens~ia,, t. 1V2, 1766/69, p. 176.