Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Variationsrechnung. 16

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Urn die Brauchbarkeit seiner Methode zu erliiutern, leitet Lagrange
die Bedingumngen her, daB eine Fliiche von alien denen, die denselben
Umfang oder aber gleiches Volumen haben, die kleinste ist, unci beweist1) den Cramersehen Satz, daB das flilchengri~te Polygon von
gegebenen Seiten einem Kreise einbesehrieben ist, aufs neue, desgleichen zeigt er, daB unter alien Polygonen gleichen Umifangs 2) das
regullire den griiften Inhalt besitzt. Eine weitere Abhandlunag3)
bringt Anwendungen der Variationsrechnung auf die Dynamik; hier
findet sich gleich zn Beginn der E ulersehe Satz, daB das Integral
der in das Balinelement multiplizierten Geschwindigkeit eines Massenpunktes emn Maximum oder Minimum ist, auf emn Massensystem ausgedelint, doch ist der dabei vorzunehmende Variatiousprozel3 'nicht
genau. de-finiert, was in der Folge zu MiBverstiindnissen AnlaB gab 4).
U~berhaupt fand der neue Kalklll auBer bei Euler zundichst wenig
Yerstiindnis; in einer schon erwiihnten Abliandlung 5) erhob Bo r da
versehiedene Bedenken gegen die Behandlungr des Brachistoclironenproblems durch Lagrange, die diesen zu einer nochmaligen genaaueren und allgremeineren Anseinandersetzung in seiner sogleich zu
erwiihnenden zweiten Abhiandlung veranlal~ten; ganz uilgerechtfertigt
sind die Angriffe von Fontaine'), der seine eigene Methode, die
nur Enlersehe und Lagrangesebe Ideen in h~5chst unilbersiclitlicher Weise mit den Punkten der Fluxionsrechnung nind dem Zeichen d1
nebeneinander ausdriickt, allen anderen fiberlegen hbilt. Eviler hat
in verschiedenen Abhiandlungen die Lagrangesche Methode ausfiihrlich auseinandergesetzt, und neben der Regel d~d ==d6 versehiedene
alte Siatze (vgl. S. 904) neu bewiesen'); ititeressanter ist sein V'ersuch
einer geometrischen Deutung des Variatiousprozesses 8) und die darauf
beruhende ilerleitung der betr. Rechnungsregeln. Die Variationsrechnung - dieser Name stammt von Euler -, sagrt er, scheint
ziinkihst eine v8Alig selbstfdudige Rechnnnigsart zu sein, unidm
1)lierbei kommt Lagrange auf die Variationsrechnung fur endliche
Differenzen zu sprechen; an diese Stelle hat dann C ond ore et wielder angeknfiPft. 2) U~ber isoperimetrische Probleme handelt u. a. ein Aufsatz von
Paolo Frisi, Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. V11, 1658/59
(1761), p. 227ff. Der Lagrangesche Algorithmus ist bier noch nicht benutzt.
3) Miscellanea Taurinensia, t. 1J2, P. 196-298. 4) Wegen der Geschichte des
Prinzips der keielsten Wirkung vgl. man 0 st walIds Kiassiker a. a. 0., Anmkg. 9,
ferner Suter, Gesehiclite der mathematischen Wissensehaften, Zfrich, 2. Teil,
S. 373ff r,) Histoire de 1'Acad6mie des Sciences 1767 (1770), P. 551ff.
6) Ebenda, p. 588ff. ') Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. X,
1764 (1766), p. 94ff (Ebenda, p. 156ff. fiber die Tautochrone im widerstehenden
Mittel.) Endlich Institutiones calculi integralis, vol. III, Anhang, p. 461-596.
81) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. XVI, 1771 (1772),'p. 35ff.