Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1068 ~~~~~Abschnitt XXVII.

fn-dp + dlq- d~r+ -.)dx+J(N-dP+ d 2Q-d1B~-.. )6y
~Jv - dz + -X d3q -F...) di
+(p dq +d~r -.)dx+ (q -dr + -)ddx +(r —.)d'6x +.
+ (P —dQ +d 2iR-.)dy +(Q -dB~...)ddy
d -( —.)d 2 dy+..
Lagrange trennt diese Gleichung in zwei; die erste,,unbestimmte"
Gleichung erhUilt alle Glieder, die unter hItegraizeichen vorkommen,7
die andere bestimmt alle iibrigen Glieder. Letztere Gleichung, bringt
Lagrange mit den Grenzen des Integrals /4 in Zusammenhang; urn
die gefundenen Gleichungen von den Gr~5en dx, dYy,.. zu, befreien,
hat man zu prtifen, ob der Natur des Problems nach zwischen ibnen
eine Beziehung besteht; 1) sind sie dann mit deren Hilfe auf die
kleinste Zahi zurflckgeftihfrt, so sind die Koeffizienten der noch vorhandenen GrbiBen ~x, dYy,... grleich Null zu. setzen. Sind sie yollstiindig unabhuingig voneinander, so kommt
n -dp d 2q - d3r + -.== 0;
N-ydp +t-d2Q —_d.51+.= 0; v - (dx + 2- 3Q+
Nach Untersuchungen tiber die Brachistoebrone tiberhaupt und
diejenige auf einer gegebenen Oberfli~che weist Lagrange nach, daB
von den letzterwaihnten drei Gleichungen immer eine die Folge der
beiden andern iSt 2), und wendet sich sodann der Aufgabe zn,,JZ' zn
einem. Maximum oder Minimum zu, machen, wenn Z auBer den
Variabein x, y, ir und ihren Differentialen auLch noch das Integral
i ==z' enathiilt, wo Zfaus den nuimlicheii Veriinderlichen und ihren
Differentialen sich zusammensetzt. Diese Aufgabe, sowie das Problem
der Maxima-Minimabestimmung von f Z, wo Z durek eine Differentialgleichung 1. Ordnung definiert ist, hat schon Euler behandelt und
geldst, was Lagrange ausdrticklich anerkennt, der auci den Pall
einer Differe-ntialgleichung 2. oder hdher-er Ordnung ftir Z bespricht.
1) In der Me'catiique analytique von 1788, p. 4.5-46 hat Lagrange den
Fall von Nebenbedi-ngnngen dnrch Einfiihrung nnbestimmter Multiplikatoren auf
das Problem ohne soiche reduziert. 2) Miscellanea Taurinensia, t. 112, p. 182.