Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVIL

handlung von einemn neuen Gesichtspunkt aus.') Die Behandlung der
Gleichung mit konstanten Koeffizienten bei variablem AX durch
L orgna haben wir bereits erwiihnt; aul~er der linearen Gleichung
kounte hier keine andere h~herer Ordnung oder h~iheren Grades (vgl.
das Beispiel von Mon ge S. 1054) Beaclitung linden.2)
Ftir die llntersuchungen auf dem Gebiet der par tiellen
Differenzengleichungen wurde eine Arbeit von Laplace grundlegend; dieser ist nach eigener Aussage3) durch Aufgaben aus der
Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Problem der,rekurro-rekurrenten
{efihen", wie er sich ausdrilckt, gefillirt worden. Seien folgende
Gleichungen gegeben:4)
lyx+A 'yr(1+B 1lyx-2+.. ~N=0o
29.-A" 2yx- I+ B" 2yx -s 2. ~ N"
~fI" 1yx + JMl' lyVrl + Ip" 1yx-2 +
1 "'3yx1 + xB' -y2 +.+N"
+ A Y + B"- ~II" q L"yx- "2~
(1 fyx j+ A?' tlyx -lI + B" Iuyx -2 +. N,"
= HInflyx + ]JP''yx-' + Ptu)-lyx-2 +
Laplace zeigt nun, daB man (1), die letzte dieser Gleichungen,
stets auf folgende Form bringen kann:
(2) lyX ==annfyx1 + b'4ryx-2 -cnlYx-3+..+~u";
hierbei sind an, bn, "... u"l Furiktionen von 'n. Aus (2) ergeben sich
sodann die speziellen Gleichungen
I1" n- If-IP(all - yI 1~ ~f-I bn-lu-1y'2 +.+ a"'t
3ff-Yf~ ]Jf(a1 IlyX'~ + b" ~ y +. + U"'
PIn - yx - 2 P" (a)1 y T + b01, y-1 r-4 '* + un-1)
Addition und Anwendung von (1) liefert
') Oeuvres de Lagrange, t. V, p. 627ff. (Berliner Memoiren 1792/93).
2)Man vgl. die Notizen von Mo-nge in dem, bereits zitierten Aufsatz ilistoire
de I'Acade'mie des Sciences 1783 (1786), p. 725ff. (gelesen 1785) und Trembley,
Nouveaux Menmoires de 1'Acad6mie de Berlin 1799/1800 (1803). 8)Mmoires
pr~sente's par divers Savans, t. V11, 1773 (1776), p. 39. Hier findet sich ein
kurzer t~berhliok iiber die Geschiclite der Differenzengleichungen. Man vgl.
auch Histoire de l'Acade'mie des Sciences 1779 (1782), p. 207 if. 4)Memoires
pr&~sentds par divers Savans, t. VI (1774), p. 354.