Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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AOU-schnitt XX.

Vonf Xm + axmn+I +, es x ~ m - n~ j/-i7_ auch ist. Dabei wibiht
er fUr m + j/- 1die trigonometrisehe Form a~ (cos 4) + sin 4)j- )
so daB
XV == UV (cos v4 + sin v4)/-)
Durch Substitution des Wertes von x ergibt sich die Gleichuing
P + Q Y —1 = 0 und P= Q ==0, worauf dann folgt, daB x=
ca (Cos 4) - sin 4)j/ 1) die Relation P - Q Y- 1 liefert und deshaib eine Wurzel der vorgelegten Gleichung ist.
In der Abliandlung De Resolutione aequationum euiusvis
gradus') macbt L. Euler einen seiner Abhandlung2) von 1732 Thbnlichen Versuch, die aligemeine Aufhlsung algebraiseher Gleichungen
zu finden. Wie vor dreiBig Jaliren, so glaubt er jetzt aus der Tatsacie, daB eine, quadratiscie Gleiciung durch die Auszieiung von
Quadratwurzeln,7 eine kubisebe Gleichung durch Auszieiung von
Qunadrat- und Kubikwurzeln, und eine Gleichung vierten Grades durci
Ausziehung biquadratiscier Wurzeln gelhst werden kann, annebmen
zu diirfen, daB sich die Wurzelform eiuer Gleiciung nten Grades
durci Radikale, nicht idher als nter Ordnung ausdriicken lasse.
Statt aber, wie, 1732, fair eine solcie (vom zweiten Gliede befreite)
Gleichung die Wurzelform von n - 1 Gliedern
anzunehmen, steilt er jetzt einen allgemeinereir, gewisse Seliwierigkeiten der dIlteren Form vermeidenden Ausdruck auf,
x = w +A 1v~+ Bi/v2i+..-+ Q Yv~nl
wo w eine rationale Zahi ist,7 und,,A, B,..., Q entweder rationale
GrbBen oder mindestens keine nte Wurzel entialten". Er hoffe, daB
diese Form alien Anforderungen genudge, da die iibrigen Wurzeln dadurci bestimmt sind, daB man fUr 1/v nacheinander alle Werte von
Vi- 'iv einsetzt. Die Voraussetzung, daB A, B,..., Q im allgemeinen
algebraische Zailen seien, ist in unserer Zeit als, unmdglich anerkaunt.
E uIe r zeigt, daB die Wurzeln der Gleiciungen der ersten vier Grade
sici auf diese Weise ausdriicken lassen. Durch die Tatsache, daB
alle damals bekannten, aufliisbaren. Gleiciungen diese Wurzelform
besaBen, ist Euler von der Ricitigkeit seiner Annahme U~berzeugt.,,Aus diesen Grllnden", sagt er,,,ist die neue Wurzelform, zur h6cisten
Wahrseheinlichkeit erhoben." Bemerkenswert ist es noch, daB E ulers
Forma in etwas priiziserer Fassung die Grundlage, des A bel1schen Be)iN. Comm. Petr., T. IX, pro annis 1762 et 1763, p. 70-98. 2) Diese
Vorlesungen, Bd. LI, 2. Aufi., S. 674.