Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differenzen- urnd Summeurechnung. 15

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die x seibst also keine, aritlimetische Reihe 1. Ordnung bilden. Diese
M~igLiehkeit hat anseheinend zuerst Monge beriicksichtigt, der dureli
seine Untersuchungen fiber die willkiirlichen Funktionen bei partiellen
Differentialgleichungen auch auf die angeblich von E ul er entdeckten
wIllkiirlichen Funktionen bei Differenzengleiehungen gefflhrt wird.
IlTierbei stellt sich Monge die Aufgabe'), die Gleichung
Ay + A4y + B == 0
volistln dig, zu integrieren, wenn A x 1. konstant =a; 2. == a + b x
3. = ax" - x ist. Im ersten Fall ergibt skih
wo p9 eine willk~rliche Funktion von zwei Verainderlichien ist; im
2. und 3. Fall sind die Integralgleichungen wesentlich koniplizierter:
Monge benutzt zn ilirer Ilerleitung die Substitutionen
a +b x-e', d. h. Aolg (b +1),
bzw.
it=- 6,' d. hi. Aco = (n - 1) co -- it lg a,
die Logarithmen ins Resultat elinfiihren. Ausfilhrlicher und ailgem einer
ist die Yoraussetzung variabler Ax von Lorgna behiandelt, der Ax
gleich irgend einer Funktion X von x setzt 2) und die Folgen dieser
Annahme eingehend untersucht. Die Reihe y, yr y,.A s daun dadireli definiert, daB jeder Term aus dem unmittelbar vorhergehenden
durch Substitution von x + X an Stelle von x hervorgelit. Analog
gehe in der Reihe X, X', X",... jedes Glied aus dem vorhergehenden dadurch hervor, daB man x durch den,,Modul" x + X ersetzt.
Da-nn kann, wie leieht ersielitlich, y(nl) audh uninittelbar, d. i. ohne
Zuhilfenalime der Ternme y(fl 1), aus y erhalten werden, indem
man ffir x die Summe
substituiert. L org-na findet noch andere Beziehungen; so stellt er
die y(nl) und mit deren Hilfe schliel~lich auch die Differenzen von
y beliebiger Ordnunga durch
M')Mmoires pr6sente's par divers Savans, t. IX (1780), p. 357. Dieser Aufsatz wurde 1774 der Akademie vorgelegt. 2) Memorie di Mat. e Fis. Soc.
It., t. I, 1782, p. 376ff.