Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1052 ~~~~Absclinitt XXVII.

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wo a eine willikfrliche Konstante ist; die weitere Untersuchung bietet
keine Schwierigkeiten. Auci Charles hat Funktionalgleichungen');
ip (ax' + mx + n) - P4'(b x2 + pX + q ) B-,
wo, P ulid B? Fuinktionen von x und. a, m, n,) b, p, q Konstante sind,
geht, wenn
ax 2 - nix ~ n == b(xco + q9)2 + p (XCo + ())) - q
ist, wo co und. p zwei neue Konstante sind, unschwer in eine
Differenzengleichung fiber.
Die gr6Bte Anzahl von Arbeiten fiber Differenzengleichungen verdankt jedoch nicht eiinem praktischen Bedtirfnisse ihren Ursprung,
sondern. vielmehr dem Umstand, daB sich sowohi alle aligemeinen
Gesichtspunkte als die meisten in weiterem. Umfange brauclibaren
Integrationasmethoden, die bei Differentialgleichungen von Vorteil sind,
mifihelos auf die Theorie der Differenzengleichungen iibertragen lassen.
So sehen wir die Entwicklung der letzteren Theorie von den Fortschritten auf dem. Gebiet der Differentialgleiehungen abhiingig, durch
diese bedingt; dieser Zusammenhang ist so innig, daB h~iufig einer
Abhandlung fiber Differentialgliechungen Bernerkungen fiber Differenzengleichuingen anhangsweise beigefiigt, sind. Am geringusten ist
die Analogie bezflglich der singuliren Integrale. Charles hat
diesen Begriff zuerst auf Differenzengleichunagen fibertragren') unter
Berufung auf die Erkla-rung ibres Wesens, wie sie Lagrange gegeben hat; er kommt zu dem Ergebnis, daB eine Differenzenagleichung
zwei vollstiindige Integrale haben kann. Ist nuimlich V 0 das Integral einer Differenzenlgleichung Z ==0, so erh~illt man letztere aus dem,
Integral, indem. man die Integrationskonstante a aus den Gleichungen
V == 0 und 6 V elinminiert; 6 V entsteht hierbei durch Variation von
x und y bei konstantem a. Liil3t man jetzt auch a variieren, so wird
AY V 6VF+ RL~a.
1st nun B?= 0, so werden die beiden Gleichungen
V=0O und 6V=0O
wieder genau dieselbe Gleichung Z =- 0 liefern, wie zuerst auch, und
es ist bei diesem Eliminationsprozel3 ganz gleichgiltig, ob a konstant
') Histoire de I'Acad~mie des Sciences 1786 (1788), p. 695. 2) Ebenda,
1783 (1786), p. 560.