Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differenzen- und Summenrechnung. 15

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Differenzengleichungen treten in Praxis und Theorie oft auf; so
im Zusammenhang mit der Bestimmung der willkiirlichen Funktionen
der Integrale, partieller Differentialgleichungen, wenn gewisse, Bedingungen zu erfililen sind; dies hat nach Charles') zuerst C ondoreet bemerkt.2) Einen anderen Ausga-ngspunkt, der auf Differenzengleichungen fifihrt, bilden die Funktionalgleiehungen. So reduziert Laplace') die Gleichung
fonct. [qp(x)] ll-Hx fonet. [4' (x)] +X,
wo (p, Ap, I un(1 X gegebene Funktionen sind und die unbekannte
Funktion fonet. bestimmt werden soil, in folgender W eise auf eine
Differenzengleichung: er setzt
a,,=iP(x) und a.,+C=99x),
berechnet aus der ersten dieser Gleichungen durch Umkehrung
und erhiilt so
=Z q(x) J= i(uJ)
Diese Rekursionsformel fuir u. definert aber u. als Funktion von -v
somit k~innen x = FP(u,8) und damit auch Hv, und Xx als Funktionen
von o dargestelit werden. Ersetzt man jetzt in der urspriinglichen
Gleichung x iiberall durch z, so entsteht eine Gleichung der Form
Yz+ ~-,Y. + Z1,
wo y, fMr fonct. [uj] geschrieben ist. 1st
[fonct. (X)]2 == fonct. (2x) + 2
gegeben4), So setzt Laplace
U== x, lt,+,== 2x, also i~=2~
und erhiilt dnrch Anwendung der weiteren Substitution fonet. (u,),
die Gleichung
tz ( I )2 2
mit dem Integral
M')Mmoires pre'sente's par divers SaVans, t. X (1785), p. 573ff. 2) Siehe
Histoire de I'Acad~mie des Sciences 1771 (1774), p. 49ff. und 1772, part. 1 (1775),
p. 32 und p. 57. Man vgl. hierzu audi M ong e in Me'moires pre'sente's par
divers Savans, t. ViI, 1773 (1776), p. 322. 8) Ebenda (MWm. div. Say.), p. 71.
L aplace behauptet, seine Methode stamme aus dem Jalire 1772, und verweist
auf die-oben zitierte Abhandlung von Condo rce t aus dem Jahre 1771.
4) Ebenda, p. 74. Diese Gleichung findet sich schon Miscellanea Taurinensia,
t. W, 2 1 7 60/6 1, p. 3 20.