Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1050 ~~~~~Absehnitt XXV11.

a sinzx b sin z x
sin p 7x sin q z(x - )
zy.a sin 7rx + b sin =(x 1+
2Y (sin z x )2 ~ ab j
zugeselirieben, wo y fair x == 0, 1,. -. die Werte a, b,..annimnmt.')
Auch die rekurrenten Reihen sind im Zusammenhaing mit dem Interpolationsproblem viel behandelt worden; indessen benutzen die meisten
Arbeiten tiber rekurrente Reihen die Integrationsmethoden ffir Differenzengleichungen, die weiter unten besprochen werden sollen. Von
mehr elementaren Arbeiten auf diesem Gebiet ist eine Untersuchung
von Lagrange zu nennen 2), der das aligemeine Glied einer rekurrenten Reihe mit den n ersten Termen 17, 17', 17",...dadureli findet,
daB er zunilchst cfine gebroehene rationale Funktion in rn6gLichst einfacher Weise so zu bestimmen sucht, daB die bei wirklicher Ausfilhrung der Division entstehende unendliche Reihe in der Form
17~+ -T'x -F 7"'x2+..-.
begiuant. Partialbruchzerlegung und Reihenentwicklung der einzelnen
Partialbriiche liefert dann sofort das gesuclite aligemeine Glied der
Reihe
I, + 17'x+ 17"x2+~
In gewissem Zusammenhang mit diesen Problemen stelit auch eine
Methode 3), die Laplace als calcul des fonetions generatrices bezeichnet (vgl. S. 273). Unter erzeugender Funktion ist niclits weiter
als die Summe einer Reihe einzelner nach demselben Gesetz entstandener
GrS"Ben zu verstehen. Die Abhiandlung selbst ent~hilt nicits wesentlich
Neues; sie behandelt Aufgaben wie z. B. durch uzdtcewn
ist, und lost sie mittels Reihenentwicklungen und Uberlegungen, wie
wir sie an der geistreichen Koeffizientenbestimmung S. 1005 bereits
kennen gelernt haben.
') Nach Kliigel a. a. 0. finden sich diese Formein anigegeben bei Prony,
Nouvelle Architechinique hydraulique 1790/96, t. 11, Anrnkg. zu ~ 1373. Die
letzte der angefillirten Gleichungen stelit auch Histoire de 1'Acade'mie des Sciences
1788 (1791), p. 582. 2) Oeuvres de Lagrange, t. VI, p. 507. Die Abliandlung ist vom Jahr 1772. 3) Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1779 (1782),
p. 207 if.