Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Differenzen- und Summenrecbnung. 14

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die Geometric aus den darin niedergelegten neuen Gedanken und.
Methoden ziehen kann.')
AuBer der grol~en Arbeit von Monge findet sich wenig fiber
totale Gleichungen mit mehr Variabeln; P. G. Fontana (vgl. Abschmitt XXVI passim) versucht sich mit Multiplikatoren ftir derartige
Gleichungen2); bedeutender ist eine Arbeit von Pietro Paoli fiber
Differentialgleichurigen, welche die Jntegrabilit'aitsbedingungen nicht erfiillen.3) P a olI i sehlieBt sich im allgemeinen eng an sein Vorbild. M on g e
an; hier sei seine Integration der Gleichung mit vier Yariablen
Adat + Bdz + Cdy + Ddx ==0
Mitg~eteilt.4) Paoli nimmt zwei Glicihungen 11 a=c und. N (,wo
a und (3 Konstante bedeuten, zwischen x, y, z willkiirlich an; aus
ilinen lassen sich z und. y als Funktionen von x berechnen. Diese
Werte ergeben, in die gegebene Glcichung eingeftihrt, cine totale
Gleichung zwischen u und x mit einem Integral P ==. Betrachtet
man jetzt in den Integralgleiehungcn
M1==U, N==~(i P~y
die Grzilen a, iyals variabel, so mul3, wenn die gegebene Differentialgleichung inoch erflilft sein soil, ei-ne Gleichung der Form
)indy + ndcc + pd~ 3 0
bestehen. Das ist aber eine totale Gleichung mit nur drei Variablen,
die im allgemeinen die Integrabilitiitsbedingungen nicht befriedigen
wird, weshalb sic nach den fUr solche Gleichungen geltenden Methoden
weiter behandelt wird. Paoli geht im folgenden noch auf die Gleichungen mit ftinff Veranderfichen, auf die h6hercn Grades und. cudlich
auf diejenigen 2. Ordnnung emn.5)
Differeuzen- und Summeiireehnung.
Wir gehen zur Differcuzen- u-nd Summenrechnung fiber.
Den ersten Anfschwung verdankt diese Disziplin der Untersuchung
der aritlimetischen Reihen h6herer Ordnu-ng, und die sich hierbci ergebenden GesetzmAifigkeiten fMr den Zusammenhang zwischen Differenzen Niherer nnd niedcrcr Ordnung haben. in ma-nnigfacher Weise
1)Histoire do I'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 573 bzw. 574.
2) Memorie di iMiatematica e Fisica Soc. Ital. Verona, t. Ill, 1786, p. 516 if.
8) Ebenda, t. VI, 1792, p. 501 ff. 4)Ebenda, p. 509. 5) Ebenda, p..513,
517, 522.