Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen. 14

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Ausdruck pdx + qdy einzusetzen; das liefert eine Gleich-ung U'1 ()
dy
zwischen x, Y, z, p, q und d u =c: Elimination von co aus
U' = 0 und
gibt de gewlnselite partielle Gleichung V = 0. M o g e erla utert
diese Vorsehriften wieder an dem speziellen Beispiel,z2
wo die Gleichungen
V=0O und U==0 bzw. p2 + q2-~a2 und dz2-=a 2(dX2 +d y2)
lauten, und gelit sodaun zu ibrem. ailgemeinen Beweis tiber, der hier
fibergangen werden kann.
Diese Beziehung zwischen den Gleichungen U =- 0 und V = 0
kann nun, wie Monge zeigtl), deshaib ftir ihre Integration, d. i. fair
die Auffindung der Gleichung ik == 0, bedeutUngSVOll werden, da sich
die eine von ihnen oft unseliwer integrieren Mift, die andere keiner
der bekannten lntegratiousmethoden sich ftigt. Dahin geh~rt das
dritte von den oben erwilhnten Beispielen, das auf die partielle Glei-.
ehung
z -px -qy = a'( +psq)
fiihrt, die einem der vonI Lagrange integrierten Gleichungstypen
(vgl. S. 968) angehlirt und auf
M-ax-g~Q ).y-a~J[1 +a~(~42
fifihrt. Umgekehrt 1iit sich, wie Monge, der die Lagrangesche
Arbeit von 1772 noch nicht in ihrer vollen Tragrweite erfa.Bt, behauptet, die partielle Gleichung
bX2 (Z + px - qy)-l + ab y2(- pX -F qy)2 + az(z + px + qy)2 0
nach keiner der bekaunten Methoden integrieren; sie fiflhrt aber auf
eine totale Gleichung der Form
/dX dY\
\dZ' dZ~
und damit zn der Gleichung
(XZ_ a)2 a YZ -P(cc) 2
H)iistoire de l'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 526.
CANToR, Geschichte der Alalthematik IV. 67