Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 14

1041

dm = 0 und dn =O,0
d. i.
Und Y( _ dy
z dz z dz
ist. Die verlangte Elimination von a fiihrt dann sofort auf
In ganz analoger Weise wird das Integral von
1dX dY
\dZ' dZ! 0
wo X, Y, Z Funktionen von x, y, z sinci, durch
und die beiden partiellen Ableitungen nach a dargesteilt.
Im folgenden') sucht Monge den Zusammenhang zwischen
totalen und partiellen Differentialgleichungen von drei Yariabein, darzustellen. Er bedient sich hierzu folgender Uberlegung:
Ist eiue FlilehengleichungXAl= gegeben, die einen Parameter a und
eine wilikarliche Funktion rp (a) dieses Parameters enthiith, so werden
bei variablem ac und festem Tp zwei konsekutive Fliichen sich in einer
Kurve
M=0; \dc Al=
selineiden. Alle diese Kurven zusammen bilden eine Fijiclie, niimlich
die Enveloppe der Fllichen hii == 0. Man erhiilt die endliche, d. i. von
Differentialen freie Gleichuing derselben durch Elimination von ac aus
(dM~
M = 0 und. di -0,
doch wird die Elimination im ailgemeineni wegen der wilikiirlichen
Funktion (p nicht ausfifihrbar sein. Die Kurven, welche diese Enveloppe zusammensetzten, besitzen aber selbst wieder eine Enveloppe,
die Mon ge die Grenzkurve (limite) der Enveloppe neunt; ihre end-.
lichen Gleichungen erhiilt man durei llinznnahme von
(ddM) ==0
zn den fritheren beiden Gleichungen und Elimination von cc. Monge
steilt nun die von (p freien Differentialgleiehungen sowohi der En

') Histoire de I'Acad6mie des Sciences 1784 (1787), p. 518.