Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVII.

worin ( als willkiirliche Funktion aufzufassen ist. Durcb Rhuliche
Nterlegungen integriert Mon ge die Gleichungen
Z2 (dx2 + d y2 + dZ2') -- a2 (dX2 + dy 2)
und
(xdy - ydX)2 + (ydz - zdy)2 + (dx — xdZ)2 == a 2(dX2 + dly2+ dZ2)
und leitet, vielleieht durch die Form der hierbei auftretenden Integrale zu. tieferem Eindringen in deren Natur veranlaBt, einige allgemeine Siitze ab. So erhiilt main, heil~t es'), das integrale eomplete
der Gleichung
weiche die Variabein x, y, z selbst iclict enithiit, durch Elimination
von cc aus den drei Gleichungen
F ~ 7~~)=0; (/) 0; ( 2' OP0
wo die 2. uind 3. Gleichung durch partielle Differentiation der 1. bzw.
2. Gleichung nach cc entstehen. Ftur den Beweis, sagt Monge, ist zu
beacliteni, daB man die 1. und 2. dieser Gleichungen differentiieren
darf, als ob ac konstant wiire, da ja die partiellen Abgeleiteten dieser
beiden Gleichungen nach ac Null sind. Ftihrt man diese Differentiation
wirklich aus, so ergiht sich mit Benutzung der Abkiirzungen
=n m und
da sich die Gleichung
dcd
audh
schreiben lIiBt:
dF dmdr + d Ty' dn 0;
dF ddF ddF I ddF\t/ &]d
di2 Idmn Tka)J dmn Ld df! 2 9'\)dn2 0.
Diese beiden Gleichungen ko-nnen aber niclit unabbaingig von
dem Wert von F existieren, wenn niclit gleichzeitig
') Histoire de 1'Acad6mie des Sciences 1784 (1787), p. 515. Auf den iml
Text erwalinten Typus liBt sich die eben behandelte Gleichung
dz2 == a" (dX2 + dy2)
ohne weiteres zurflckfiihren.