Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

94

Abschnitt XX.

leitung seiner Formel fUr die Potenzsummen der Wurzeln an. Sie
unterseheidet sich von den Newtonschen dadurch, daB statt durch
rekuirrierenide Darstellung eine Summe s. dureli Sumrnen ifiedrigeren
Grades, S.-,, sn-2 2; I zu berecb-nen, sie die Summe ganz unabhiingig
von friiheren Ergebnisseii darstelit. Auch fifihrt Waring eine Formel
fair die Darstellung eines Koeffizienten der Gleichung durch die
Potenzsummnen s1, S2,.. - an. Gleichfalls als Waringsehe Forinein
bekaunt sind dieJenigen 1), mittels welcher man beliebige, ganze symmetrisehe Funktionen mit Gliedern 0a tOb '6 usw. direkt als Funktionen der Gleiehungskoeffizienten ausdrficken kaun. Er skizziert
dann das Verfahren, mittels symmetrischer Funktionen eine Gleichung
zu finden, deren Wurzeln irgend eine gegebene Relation zn den
Wurzeln einer oder meirerer gegebenen Gleiciungen haben. Durch
die Annaime V == Xn k~une man dasselbe zur Wegschaffung von
Radikalen V anwenden. Urn irnaginilre Wnrzeln einer Gleiciung
72? -_px2n-1 + qx 2n2 - rx 2n3 + etc.== 0 zu entdecken, gibt er
ohne Nachweis die Regel S. 18: Man eliminiere v aus den zwei Gleichungen 2 nv2n -1 - (2 n - 1)pV2n-2 + (2 n - 2) qv2 n-3 - etc. ==
und V2, _pV2n-I + qv 2-2 - etc. = w weun in der resultierenden
Gleichung W~n 1 PW2n-2+ QW2n-4_-etc. = 0, P, Q, etc. alle positiv
sind, habe die voi-gelegte Gleichung keine reellen Wurzeln. Urn die
Grenzen von Wurzeln zu bestimmen,7 transformiert er die gegebene
Gleiciung in eine andere, deren Wurzeln die reziproken Wurzeldiffereuzen 1/(a - ii), 1/(a - y), 1/(cc - 6), etc. der vorgelegten Gleichung sind. Diese Methode wurde sp~iter von L ag ra n ge wieder erfunden 2).
Waring nimmt Wurzelformen wie
an, und berechnet durci Wegsciaffung der Radikalen die entsprechenade
Gleichung. Mit einer solchen Auflbsungsmethode hatte E uler scion
1732 (Bd. 1112, S.574) experimientiert. Filr die Quartic machte Waring die
Annahmne C)x C~ I + 4 / und leitet die kubiscie Gleichung
zur Bestimmung von cc, fi, y ab. Ftir die Quintic macbt er die ganz
'aihnliche VoraussetZUng4) X = 5 + - + ~ - 5 n ijtdn
die unklare Bemerkung folgen:,Jch habe durch Berechnung gefunden,
daB die biquadratische Gleichung, deren Wurzeln a, i 6 ' m ind, not') Misc. analyt., p. 8. ') Lagrange, op. cit., Note III. ')Misc.
analyt., p. 46. 4) Ebenda, p. 47.