Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 13

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mit der xy-Ebene bilden; deshaib sind speziell die GleiChUngen aller
Geraden, die diesen Winkel mit der xy-Ebene bilden, Lbisungen der
gegebenen Gleichung.
Diese Geraden sind aber
wo cci 1, y drei willktirliehe Konstanten sind. Naclidem sich Monuge
durch Differentiationi flberzeugt hat, dab3 diese beiden Gleichungen
zusammen wirkileli eine Ld~sung darstellen, geht er dazu iiber, das
integrale comapliie zu linden. Elimination von a~ gibt zuniichst
(X _ 13)2~ iy - t
und das ist die Gleichung aller Kegel, deren Spitzen in der xy- Ebeue
liege-n, und deren Erzeugende mit dieser Ebene den erwalinten konstanten Winkel bilden. Die Annabme
y =T(13(0
scheidet hieraus alle jene Kegel. aus, deren Spitzen auf der in der
xy-Ebene gezogeneii Kurve
q =T X
iliegren. Zwei konsekutive Kegel dieser Schar selineiden sich null
fiihrt Mo n ge fort, in euler Geraden mit den Gleichun gen
(x - /)+ (y - T(13))2 =-=, ' -13- (Y -- (p(1))9 (13 0,
deren zweite durch partielle Differentiation nach 13 entstanden ist.
Auch diese Gerade bildet iimner noch mit der xy-Ebene jenen konstauten Winkel und ist daher eine Lb5sung der Differentialgleichungo.
Betraclitet man aber die Schar (suite) von Kegelfluichen, so ergibt
sich eine Reihe soicher Schnlittgeraden wie die eben erw~h-nte. Da
sich aber von diesen Geraden, deren Lage nur von dem variabein
Parameter (parametre variable) 13 abh~ngt, immer zwei konsekutive
auf der ujimlichen Kegeltliche befinden, so sdilneiden sie sich notwendig zn. zweien konsekutiv und bilcien, foigylich die Tangenten einer
doppelt gekriimmten Kurve, die wegren der konstanten Neigung ihrer
Elemente das vollstiindige Integral der gegebenen Differeintialgleichungf
darstellen wird. Nach ihrer geometrischen Entstehungsweise wind sie
dargestelit durch die drei Gleichiungen
(z2
x 1 + (y - (p(13))q9)'(13) == 0; -1-(T'13p)2 + (y - ~(F3)) p (13) = —0,