Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abscbnitt XXVIL

d. i. die Gleichung eines eiuzel-nen Punktes anzusehein. Unter den
Differentialgleichungen 1. Ordnung gebe es also solehe, deren Integral
aus einer bzw. zwei Gleichungen bestehe und eine bzw. zwei Integrationskonstanten enthalte. Die besprochene Eigensehaft, der Gleichung,
hiiheren Grades sei schon frifier beobachtet, aber als Ausnahme betrachtet worden, indessen sei sie nur der Anfang einer unageheuren
Kette. Dieses Bild erkliirt Monge durch folgende Ausfdihruugen: die
totalen Gleichungen dreier Variabein gehdren, weun die Integrabilit~itsbedingung erfililt ist, alle krummeni O'berfliichein an, und ihr Integral
bestehit in euner einzigen Gleichung mit einer einzigen Integrationskonstanten. Aber alle die unendlich vielen Gleichungen, die jener
Bedingung niclit geniigen, gehiiren Raumkurven an, uind ilir Integral
besteht aus zwei sirnultaiien Gleichungen. Indessen habe eine einzige
von ihnen, niimlich
_[2dX2"'1 + _T./y2W dF J~p2d'Z' 0
die drei simultanen Gleichungen
x == a, y b '= C,
die zusammen einen Punkt darstellen, zumn Integral. Nach Darlegung
der analogen Verhiiltnisse fUr vier Variable, wobei Mng e nattirlich
auf die geometrische Veransehaulichung verzichten imuI3, ist die neue
Auffassung ausgesprochen, die sogen. Integrabilitatsbedingungen h~tten
nicht die Beurteil-ung, ob eine Integration ni~iglich sei, sondern die
Entscheidung, aus wieviel simultanen Gleichungen sich das Integral
zusammensetze, zum Gegenstanad.') An einigen Beispielen wird sodaun das Gesagte erbrtert; die Einschaltung dieser A-ufgaben hat aber
fMr uns den groBen Wert, daB wir aus ihinen wieder geometrische
Untersuchungen als Quelle von M onges Ideen liber die Differentialgleichungen, d. i. einen Zweig der Analysis, erkennen ko~nnen, denu
die Behandlung dieser Aufgaben macht es fast unzweifelhaft, daB
Monge bei ausgedelinter Beschilftignng mit Problemien der Flilcheiitheorie zuerst immer wieder auf derartige Gleichungen gefifihrt wurde,
bis er sie endlich in ihrer vollen Bedeutung erkanute und nun urngekehrt zum Gegenstand einer Sonderuntersuchung machte. Das erste
dieser Beispiele ist
dz2 -= a' d(X2 + dy'2),
in dem a eine gegebene Konstante bedeutet. Es ist offenkundig,~
sagt Monge, daB diese Gleichung derjenigen doppelt gekriimmteu
Kurve angeho~rt, deren Elemente eiuen gewissen konstanten Winkel

1) Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 506.