Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 13

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kaum daB sich da oder dort eiue Bemerkung dar~ber findet, wie bei
Laplace, der nach singuliren Integralen von Gleichungen mit drei
Yariabein fragt und dabei auf die Integrabilitiitsbedingungen zu
sprechen kom~mt.1) Endlich 1784, gleichzeitig mit den beiden frifher
erwadhnten Aufsaltzen flber Differentialgleichungen (vgl. S. 949 u.), erscheint die grol~e Arbeit von Mon ge 2), die auf diese Fragen nicht
nur neues Liclit wirfti, sondern sie unter groBen, aligemeinen Gesichtspunkten behandelt und auch zu einem. gewissen Abschlul3 bringt.
Einleitend bezeichnet Mon ge die Gleichung
Mdx + Ndy U
als Bestimmungsgleichung fUr die Taingentenriclitung der Integralkurven in dem. Punkt (x, y) und deutet analog die entsprechende
Gleichung 2. Ordnung. Von den Gleichungen mit melir Variabein,
heiBt es weiter, halt man die hiiheren Grades alle fair absurd; von
den linearen alle jene, die niclit bestim~mten Bedinguiigen gentigen;
diese Bedingungen, an Zahi immer um. zwei weniger als die Anzahi
der Variabein, werden kurz besprochen. Nach solehen orientierenden
Bemierkungen khindet Mo ng e den Inhalt seiner Untersuchung an3),,ich nehme mir vor, zn zeigen, daB es keine absurde Differentialgleichung gibt, absurd im. Sinne von unm6glich, imaginii. Ich werde
zeligen, daB alle Differentialgleichungen reelle E igen schaften ausdriicken,
oh sie jetzt den erwdhnten Bedingungen gehorchen oder nicht; daB
sie alle einer wirklichen Integration fiihig sind." Zum. besseren Verstijudnis des folgenden bringt, jetzt Monge folgende Uberlegung: Von
alien Gleichungen 1. Ordnung mit zwei Variabein, sagt er, gibt es
nur eine eiuzige nichltiineare, niimlich
3Pdx22it + N~dySn, == 0,
wo unter Ml und -N Funktionen von x und y zu verstehen sind; diese
Gleichung kdnne nichts Reelles bedeuten, auBer wenn gleichzeitig
M =0 und X =0,
oder
dx=0 und dy==0.
1)as erste dieser zwei Ergebnisse k6nne niclit als Integral angesehen
werden, da es keine willk~rliche Konstante enthalte; als wirkliches
Integral sei demnach der Verein der Gleichungen
x =- a, y = b
1) Hfistoire de I'Acade'mie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 368.
2)Ebenda, 1784 (1787), p. 502-576. 3)Ebenda, p. 504.