Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1032 ~~~~~Abschnitt XX VII.

sind (vgl. S. 905ff.), in Zusammenhanig gebraclit; ist V ==0 eine GWeichung zwischen p, q,r,..., pq', r,... wo
d x = p d u; (Idx = qdU2;... dqy = p'du1; ddy = q'd u2;
so ist das Integrabilitiitskriterium durcli foigende Gleichungen gegeben
wenn
dY- Mdu +- INd x + N'dy +
-v Pdp1 + P'dp'~+ Qd1q + Q'dq' +
Durch Anwendung dieser Kriterien (vgl. S. 538) erhdlt L e xeli schijeblieb totale IDifferentialgleichungen fMr die gesucbten Multiplikatore-n,
die den urspriinglichen Gleidliungren sehr ahulich sind; zur Integration
der letzteren genflgen indes schon partikullire L~sungen der ersteren.
Spiiter hat L e xeli diese Untersuchungen fortgesetzt.1)
Wir betrachten jetzt den Fall, daB eine einzige totale Gleichung mit nelir als zwei Variablen vorliegt, und zwar sollen
inshesondere die Differentiale aller dieser Veriunderlichen vorkomnmen,
da der gegenteilige Fall keinerlei Schwierigkeiten macht. Die hierher
gehorigen Gleidhungen 1. Ordiunug und 1. Grades hat schon friihzitig
Clairaut eingehend behandelt2) und die Bedingung ilirer Integrabilitiait, die event. mit Hilfe eines Multiplikators zn bewerksteiiigen
ist, anfgestellt. Diese Bedingungsgleichung bringt Euler in seiner
Integralrechniung wieder 3), woselbst sich auch das entsprechende Kriterinm fair die spezielle Gleidhu-ng
dz == Pdx + Qdy
findet, ohne daB Euler die wieltige Anwendung zu machen weilB,
die nachher Lagrange gegliiekt ist (vgl. S. 966). Letzterer Urustand
ist indessen sehr begreiflich, da Euler von der totalen Gleichungr
ausgeht, bei der P und Q Funktionen bedeuten, die zumeist gegeben
sind oder doch bestimmt angebbar gedacht werden, wiihrend L agrange eine gegebene Gleichung zwischen x, y, z, P, 9 integrieren
will, in der P und Q nichts als die Symbole fftr partielle Differentialquotienten, niohts als Zeichen, formale Gebilde sind. Ist die Integra2)Acta Academiae Petropolitanae 1779 K1783), pars II, p. 52if* 2 V[gl.
diese Vorl., II12,1 S. 885. ') Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 5.