Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen. 13

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System von Gleichungen, auf das sich diese Theorie iibertragen T13t;
die Verwendung seiner Variation der Konstanten auf ein spezielles
Gleichungssystem haben wir bereits erw~bnt (vgl. S. 926"), desgleichen
die Ausdehnung einer von Laplace herrifihrenden Niiherungsrnethode
auf emn System von St~5rungsgleichungen (vgl. S. 923). Auf emn
interessantes Simultansystem, das Co usin behandelt 1), un d seine
approximative Berechnung kann bier, da die betreffenden Eutwicklungen allzu umfangreich sin —d, niclit eingegangen werden. Endlich
sei noch an die zahireichen Simultansysteme, auf weiche die Mechanik
z. B. im Dreikirperproblem fillirt, erinnert.
Wir charakterisieren hier nur die Integration des Simultansysteins
dIdx + cdx + /3dy H-;x + 6y =0;
(ddy + c'dIx -F f'dy + y'x + 6'y 0
dureh Lexell'); dabei sind x und y als Funktion einer unabh.'ingigen
Variablen a zu denken,7 deren Differentiale dlu, du2 usw. der Einfachheit halber fortgelassen sind. iDurch zweimalige Differenltiation beider
Gleichungen ergeben sich vier weitere Gleichungen, die dureli Emnflibrung eines, Multiplikatorsystems, 9, v, It, A~, 1 und Addition auf eine
Gleichung 4. Ordnung ftihren. Bestimmnt man hierin die Multiplikatoren so, daB nur melir x und. seine Differentiale fiberbicibeni, so
ergibt sichi die Gleichung
d4X + (C~ + j3') d3X + (cqi' _ tii+7-F -)(d
+ ~ (c)-c( + fl'- (I'~x -I (6';v - d Y') x == 0,
wegen dereii Integration auf Eunl1e rs Integrairechnung verwiesen
ist; ebensogut h~te manl natfirlich auch in der Gleichung y allein
belassen kdnnenY3) Im folgenden betraehtet Lexell zwei lineare
Gleichungen 3. Orduung, ebenfalls mit konstanten Koeffizienaten und
sAil3t so auf eine Gleichung 6. Ordnung, welche nur x und seine Ableitutigen enth~lt. Sind die zwei Ausgangsgrleichungen vierter Ordnuhlng, so wird analog die SchluiBgleichUllg 8. Ordnnng usw. Lexell
nimmit sodann drei Gleichungen mit den drei abhiingigen Verdnderlichen x, y, z; hier treten in den SchluBgleichiingen viel kompliziertere
Koeffizienten auf. Endlich ist das Problem mit der Frage der Jutegrabilitiit durch Verwendung passender Multiplikatoren, auf die wir
fur den Fall von bloB. zwei Veriinderlichen ausfifhrlich eingegangen
H)iistoire de I'Acadkinie des Sciences 1783 (1786), p. 674. 2)Acta
Academiae Petropolitanae 1777 (1778), pars I, p. 61ff. Die Untersuchung verdank-t nach Aussage des Autors ilire Entstehung der Anregung dureli d'Alenibert. ')Ebenda, p. 67.