Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Difterentialgleicliungen. 12

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de l'inte'grati on", sagt er,,,e consiste done plus, lorsqu'elle est
possible, qu'a' transformer ces equations en d'autres qui les cornportent toutes et qui soient inte'grables". So eigenttimnlich diese Worte
beim ersten Lesen anmuten3, man muI3osieh hilten, ihnen allzu gro~e
Bedeutung beizumessen oder gar Lie sche Ideen darin linden zna wollen;
L i e sagt ausdrflcklich, Integration ist niclits anderes als Transformation; Monge unterscheidet genaul zwiscben Transformation und Integration; was er verlangt, ist lediglich Transformation auf einen
integrablen Typus.
Auch L e gen dre untersucht') die lineare Gleichung 2. Ordnung
0 ddv ddv ddv
dX2+dxdy dxdz+
verlangt aber im Gegensatz zu M on g e, daB die Koeftizienten a, b,..
die abhiaingige Variable v nicht enthalten, also Funktionen von x, y, v
allein sind. Als,,notwendige Bedingung" ffur die Existenz eines Integrals, das nur eine endliche Zahi von Termen aufweist, bezeichnet
auch er die M~glichkeit, das, Polynom X2 + axy + bxz- +. - in zwei
rationale Faktoren zerspalten zn kdnnen. Er behauptet, daB fUr
Gleichungen aller Ordnungen ein Thnliches Gesetz bestehe, und geht
dann2) endlich zn Gleichungen 2. Ordnung mit vier unabhiiingigen
Veriinderlichen fiber, bel denen das Prinzip der Zerspaltung wieder
von Bedeutung wird.
Gleichungen imit mehreren abhiingigen Variablen treten im
ailgemeinen nur bei Simultansystemen auf, wie sie schon frifihzeitig
1)ei hydrodynamischen Problemen untersucht wurden; so haben Lagrange3) und d'Alember t4 ) das System
_p+dq 0 dp' dq
integriert. Der Fall einer einzigen Gleichung mit melireren abh'ingigen
Variablen findet sich bei Trembley, weleher die Gleichung
(dx)( - (do) (d) ==0
durch F (it) integgriert 5); die Beziehung 9 -- F(pi) siehit T r e in blIe y
lediglich als Integral der gegebenen Differentialgleichung an, wdhirend
')Histoire de I'Acad~mie des Sciences 1787 (1789), p. 323. 2) Ebenda,
p. 331. 3) Miscellanea Taurinensia, t. III12, 1762/65 (1766), p. 205. 4) Opuscules matheimatiques, t. V, 1768, p. 41. 5) Nouveaux Me'moires de l'Acad~mie
de Berlin 1792/93, p. 386. Vgl. hierzu auch Condoreet, Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 17. In obiger Form hifh sich be'kannterma~en auch die Gleichung der abwickelbaren Fliachen rt - 82== 0
schreiben.
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