Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

1028

1028 ~~~~~Abschnitt XXVII.

z == (a~~cx + ~%y +;t)
wo
actc + (3(:
ce
ist. Er versuclit1) audi fair den Fall e I eine Lijsung der Form
z = Sill(a t+ Asn( ) sin (-2'3 Y +
dann miissen die Konstanten all3, der Bedingung
O/ ==3 2 + 72,
gehorchen. Euler erkeunt diese L~sung als den Fall der Schwingungen einer rechteckigen Membran, die an den Riindern ringsum.
befestigt ist. Urn weitere L6sungen zn finden, trai-sformiert er auf
Polarkoordinaten und wird dabei schlieBlich auf unsere Zylinderfunktion gefiihrtL
M o ng e behandelt 2) die lineare Gleichunig 2. Ordnunug mit drei
unabhiingigen Variablen; man erhuillt sie aus der E ulersehen homogenen Gleichung, indem man emn A bsolutglied hinzufiigt und die
Koeffizienten als Funktionen der vier Variablen und. der JDerivierten
1. Ordnnng auffaBt. Monge wendet sein oft bewdlirtes Verfahren
an, indem er die drei Gleichungen, welehe die Derivierten 2. Ordnung
mit den totalen Differentialen. der drei unabhiingigen Variablen und
der drei Derivierten 1. Ordnunug verkniipfen, einftihrt, mit ibrer ililfe
drei Derivierte 2. Ordnung ans der ursprllnglichen Gleichung eliminiert
und. wie immei~ das Resultat der Elimination in eiinzelne Gleichungen
zerlegt. Er erhiilt so genau dieselbe Bedingnngsgleichung wie Euler,
nur in etwas anderer Bezeichnu-ngsweise, und sagt voin ihr:,,la proposee n est integrable que lorsque les coe'fficiens satisfont 'a cette
condition"; daB sie die Bedingung fMr das Zerfallen eines gewissen
Ausdrucks in Linearfaktoren ist, braucht er deshaib nichlt anzugeben,
weil er sie urngekehrt gerade ans diesen Linearfaktoren, die urn
seine Methode zuerst liiefert, herleitet. Mon ge dentet auch kurz die
Ansdehnung seines Verfalirens auf Gleichungen lidherer Ordnung an;
er findet, daB die Anzahl. der Bedingungsgleichungen - im Fall von
drei unabhiiUngigen Variabeln naltirlich - immer gleich der Ordnung
der Differentialgleichuing, vermindert urn die Einheit, ist. Im. AnschluB daran erwillint er wieder, daB seine totalen Gleichungen, auf
die er das Problem reduziert, von derselben Allgemeinheit (de la
meme generalit6') seien wie die partiellen Gleichungen.,,Le travail
1) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. X, 1764 (1766), p. 248.
1) Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 161.