Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 12

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existiert; diese Hypothese ftihfrt auf die Bedingung, daB emn gewisser
algebraischer Ausdruck 3. Grades, gebildet aus x, y, z und den Koeffizienten A, B, C,... der gegebenen Differentialgleichung, sich in drei
Linearfaktoren der Form ax + by + cz spalten lIiBt; ist diese Bedingung erfililt, so kann clas,,vollst~indige" Integral ohne weiteres
angegeben werden. Aber auch wenn vollstiindige Z erf~illung in
Linearfaktoren niclit m~glich ist, sondern - und dies gilt aligetnein
auch fur homogene Gleichungen hdherer Ordnung - lediglich eine
Zerspaltung in Faktoren hdheren Grades m~gli cl ist'), kaun man noch
einen gewissen Nutzen aus dieser Faktorenzerlegnng ziehen; denn es
ist dann wenigstens Ordnungserniedrigung anwendbar, so fflhrt z. B.
emn Faktor xy - zz auf
/ddv \ ddv
~dxid-yI dz 0.
Schliefflich wird noch der Fall, daB eine der Gri5Ben a, b, c gleich
Null ist, an einem Beispiel erlilutert. Endlich sagt Euler 2) von der
hydrodynamischen Gleichung mit vier nnabb ~ngigen Yeriinderlichen
/ddv ddv~ /ddv\ ddv
daB ihr vollstiindiges Integral zwei willkiirliche Funktionen von je
drei Variablein haben miisse, und versucht ein Integral der Form
v == F(cx + py + YZ+ t).
Es ergibt sich die IBedingung
=6 ~ -F 3( + flo +
Ferner gibt Euler noch die Integrale
J/(X X+ yy +z z) J/(t-i7j - +
sowie die beiden anderen an, welche sich dureli Vertauschung von x
mlit y und z hieraus ergeben.
An anderer Stelle behandelt Euler spezielle Gleichungen von
mehr Variablen; fllr die Schwingungen von Pauken stellt er3) die
Gleichlungr
1 1ddz\ ddz\ ddz\
Ved t2) 2\X + 2
auf; hier findet man leiclit
1) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 457. 2) Ebenda, p. 458.
3)Novi Commentarii Academiae Petropolitanae t. X, 1764 (1766), p. 252.
CANTOR, Geschichte der Mathematik IV. 66