Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichuingen. 12

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d k -Ics.
dt2
Bestimmt mnan daraus s und berdeksichtigt die physikalischen Anfangsbedingungen ftir t == 0, so liuit sich damit, wie Lagrange andeutet, die Berechnung von x, y, z auf die an einfacheren Differentialgleichungen 2. Ordnung auseinandergesetzten Methoden zuriickfifihren.
Die Berechnung von L, M. N gelingt Lagrange nur in speziellen
F~ilflen; so ffillirt die Annalime
L -Ae(Px+q YI-r/) 1/k. ] -M.=B(Px~g Y'Z}. N 1(p X + qY+r Z)J1/
auf die Gleichungen
A = C(Ap2+Bpq-Cpr); B==c(B q2+Apq(r)
C z-c (Cr2 + Apr, -I- Bqr)
zur Bestiminung von p, q, r. Schlielblich') sind noch Reihenentwieklungen abgeleitet, die jedoch selir viel Raum. einnehmen.
Unter allgemieinen Gesichtspunkten suclit die Gleichungen von
melir Variablen zuerst E ul er zu behandein. Er maclit auch darauf
aufmierksam, daB bei drei unabhiingigen Variablen die willktirliche Funktion der Integralgleichung eine Funktion von zwei Variablen
ist.2) Er unterseheidet verschiedene Typena, die einer gleicliartigen
Behandlung zugiinglich sind. Ist eine einzige Derivierte von v einer
beliebigen Funktion der unabhiingigen Variablen gleichgesetzt, so
findet man das Resultat, indem man bei jeder Integfration alle VerUinderlichen bis auf eiue konstant liit, und die Integrationskonstanten
dureli wilIkllrliche Funktionen dieser Variablen ersetzt. Die Anzabl
der willkiirlichen Funktionen, bemerkt E ulIe r ansdrticklich, ist imnmer
gteich der Ordniung der Differentialgleichung. Ist weiterhin die Differentialgleichung von der Art, daB sie nur die Ableitung nach emn und
derselben Variablena, etwa x enthijit, so kann man wieder die iibrigen
Veriinderlichen als konstant anseheii und naehher - wie wir sagen
wtirden - die Variation der Konstanten anwenden. Treten nur die
Ableitungen nach zweien der Variablen aut; so kann man wenigstens
die dritte als konstant betracliten und die Gleichung als Differentialgleichung zweier unabh'a'igge Variablena behandeln. ) E uler untersuclit auBerdem speziell die,,homogene" Gleichung 2. und 3. Ordnung, d. i. jene Gleichung, welche nur die Differentialqiuotienten der
hdchsten Ordnung und kein Absolutglied besitzt. Unter der Annahme,
daB v nur von
')Miscellanea Taurinensia, t. 112, p. 127. 2) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 397. ') Ebenda, bzw. p. 409, 416, 419.