Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehuigen. 12

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liefert somit drei Werte von 0P die P', 0P" 01"' heil~en m~igeD. Hliermit ergibt sich das Integral
wo I; f, 2' willkilrliehe, TI, IiR 11"' passend zu bestimmende Funktionen sind. Die Methode hat den Nacliteil, daB von vornherein niclit
zu ersehen ist, ob emn Integral der angenommenen Form existiert;
trotzdem scheut Trembley niclit vor der Berechnung der kompliziertesten Ausdrileke und Formein zurilek.
Co us in ist, indem er die oben erwillnten Unters uchun gen in
anderer Richtung weiter verfolgte, zu einem, Theorem Uiber die Integration der ailgemeinen im, Mongeschen Sinne linearen Gleichurig
nter OJrdnung geomen), da die ~Integrationsvo~1rs hiftenJ von Mvonge
fair die Gleichung 1., 2. und 3. Ordnung als Spezialfiille umfaBt. Sei
d'zz do' z ~ do'z d
dy" dy' d x d yn - dx2 x
wo al, ie py... - ~, r Funktionen von x, y, z und den partiellen Abgeleiteten von z, die der (n - Iltenu Ordnunug einschlieBlieh, bedenten.
Man berechne die Wurzeln der Gleichung
(vgl. Enters homogene Gleichung S. 1017) und bilde die GrdBen
cm + 13== CQA cc~lrn+ Y=cQ1; atm + 6= c~v
usw. Dann ergeben sich alle Integrale der ursprflnglichen partiellen
Gleichung dureli Integration folgender beiden totalen Gleichungen
rndy + dx ==O und ccm(dp + Adq + idr + vds +..+ rdx=0,
wo p, q, r, s,..die Differentialquotienten (n -i)ter Ordnung do'
-1~~~~~~~~~~~~~~~~d -
- 2 - ~bedeuten. Cousin betraclitet sodasin speziell. diejenige
dy~ n dx n
Gleichung, weiche keine Produkte oder Potenzen von Differentialquotienten enthuit, in der also sumtliche Abgeleitete linear auftreten;
er bezeichnet sic als lineare Gleichung, wiihrend Monge dabei nur
das Linearsein der Derivierten n ter Ordnung fordert.
Zn den frillest behandelten Differe ntialgleiehungen von
mehr Yariablen und h~3herer Ordnung - die 1. Ordnung sind
')Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1783 (1786), p. 688ff. Im Text ist
die Darstellung von ebencla 1784 (1787), p. 407 zugruncle gelegt.