Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV11.

mit dem integrale complete
z=xvp(ax - y) + zir(ax -y)
Monge, erhiilt endlich die beiden siiniltanen Gleichungen
y a x + T (a) und z == xip (a) + z (a),
aus denen man sich a eliminiert zu denken hat. Nach einer Bemerkung, wie die einzelnen Wurzeln der erwiihnten totalen Gleichunagen
des aligremeinen Falles zu kombinieren sind, wenn jede dieser Gleichungen ungleiche Wurzeln besitzt, weist M on g e darauf hin, daB
seine Methode auch auf Gleichungen hdlierer Ordunuag anwendbar ist
und nennt den ihr zugrunde liegenden Gedankeigra-ng la veritable
enta-phyique du calcul aux diff~rences partielles.')
L egendre verwandelt 2) die spezielle Gleichunag 3. Ordnung, in
weicher die abhiingige Variable v h6chstens einmal nach y differentiiert auftritt, durch die Transformation
dv
dx + )) C== V,
in eine Gleichung 2. Ordnung, wobei p eine ehifache Differentialgleichung zu erfililen hat.
Trembley hat aul~er der Gleichung 1. und 2. Ordnung auch
diejenige 3. Ordnunug aus dein gegebenen Integral konstruiert.3) Er
setzt
z = 1J(x, y). F(qi(x, y)),
wo unter F eine willkiirliehe Fu-nktion zu verstehen ist. Indem, er
aus den partiellen Ableitungen von z die aligemeine Gleichu-ng
3. Grades bildet, weiche diese Ableit-ungen nur in der ersten Potenaz
enthuilt, bekommt er vier Bedingungsgleichungen, von deren Erfililtsein das Bestehen der Differentialgleichung 3. Ordunuug bzw. der angenommenen Integralgleichunag abhiingt. Die eine dieser Bedingungs(a 0
gleichungen ist hinsichtlich der Unbekannten. - vom 3. Grade und
') ilistoire de I'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 158. Es mag hier
noch die Gleichung
(d~z \(d~z\ ( d3z d43
dx Jdy /Y \dx d~i d2
erwilhnt werden, die ebenda p. 567 kiurz besprochen ist. 2) Ebenda 1787
(1789), p. 332. 8) Nova Acta Acadenmiae Petropolitanae, t. X1II, 1795/196 (1802),
p. 101 ff. Aus dem Jahre 1798.