Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1016 ~~~~Abschnitt XXVII.

untersueht.1) Noch mehr Gelegenheit zu rechnen gibt die Aiinahme2 )
einer komplizierteren Integralgleichung
II * ) [FJ(i) (0~') j f (i) (4Pff"\I
/=0
wobei die POs und f(i) die Derivierten von F bzw. f bedeuten, und
die HP) nacli einem gewissen Gesetz auseinander hervorgehen. Weiterhin geht Trem bl1ey von der Integralgleichung
V)(x, y, z) I (x, y). F(O'(x, y))
aus 3), die ihn zuniihst auf eine komplizierte partielle Gleichung mit den
abliangigen Variabein ip und z und drei BedingUngsgleichungen ftihrt.
Diese kormplizierte Form vergliciclt er sodann mit der ailgemeinen
partiellen Gleichung 2. Ordnung, welche die ersten Ableitungen von z
in der 2. Potenz enthuiilt, und stellt #p dureli die Koeffizienten der
letzteren dar. Ist nnn eine derartige Gleichung 2. Ordnung gegeben,
so existiert, wenn 'p auBerdem die erwiihnten Bedingungsgleichungen
erfillit, emn Integral der angegebenen Form. Ein Anhang4 ) bringt
eine Abiinderung der besprochenen allgemei-nen Methode. Endlich ist
zu erwalinen, daB Trembley eine Unmenge von Beispielen, beso-nders
aus Eulers Integralrechnung, nach seiner Methode rechnet, die nur
den Nacliteil hat, daB man bei einer beliebig vorgelegten Differentialgleichung von vornherein ersehen soilte, welche Form das Integral
haben wird.
Von den Gleichungen hdherer Ordnung gestelit Euler in
seiner Integralrechnung5) zu, daB die Einffihrung neuer Veriinderlicher
hier wegen der allzuverwickelten Formein wenig zweckmniBig ist.
Euler beschriinkt sich auf drei Typen von Gleichungen, deren erster
dadurch entstehit, daB man eine einzige Derivierte h6herer Ordnung
gleich Null oder einer Funktion von x und y gleichsetzt.6) FUr die
Gleichung
(-)= a3z
versuclit E ule r emn Integral
d- = nz
das auf die Bedingung n' - (t3 fifihrt und so drei partikulare Integrale
der Form
')Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XI, 1792 (1797), Histoire, p. 42 ff.
2)Ebenda, p. 83 if. '3) Ebenda, p. 101 if. 4) Ebenda, p. 105-109.
6)Institutiones calculi integ~ralis, vol. III, p. 348. 6) Ebenda, p. 851 bzw. 355.