Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

1010

Abschnitt XXVIL

muBte, ftihlrt auch jetzt zn deni SchluB, daB V == cp ( U) emn erstes Integral (integrale premi'ere) der vorgelegten Gleichung ist, wenn V == a
und U = b die vollstiIndigen lntegrale zweier von den angegebenen
vier totalen Gleichungen odor zweier gleichwertigen sind. Sind zwei
derartigo Gleichungen zwar integrabel, Id&t sich aber keino von ilnen
auf den orston Grad reduzieron, so ist bosondere Vorsicht nubti g, in
woichor Woise die betr. Integrale zn kombinieren sind, da nichit alle
Kombinationen brauclibare Resultate geben; Mongo gibt diesbeziigliche Vorseliriften.1) Von Beispioleu ist die Gleichung, mit konstanten
Koeffizienten behandelt, anl~erdem die Differentialgleichnng dor Minimaiflihehn, letztoro in wenig brauchbarer Form nnd fehiorhaft. Mon g e,schreibt diese Gleichung Borda zu, wohi. weil dieser eine knrze Abhandlung hiber dieseii Gogenstand gebracht hatte 2); Borda selbst vorwoist dort auf einen noch zn bosprechenden Aufsatz in den Miscellanea
Taurinensia, in dom Lagrange seine Variationsrecbnnng bekaunt
maclit. Legondre zeigt3') von der Mongeschon Integration, daB die
darin auftretenden Integralzeichon sich llber mehrore Variable erstrecken, oline daB (lie Integrabilitiitsbedingpnngon orfifilt sind, nud
findet die riebtige Lb~snng dnrch einfache Andernug der Variabeln;
als Beispiele bringt er den Rotationsk~rper, dessen Meridiankurve die
Kettenlinie ist, sowie die -Minimaiffliche zwischen zwei windschiefon
tGoraden.4)
In der erwiihnton Abhandlung behandolt Monge anch Gleichungen,
fuir welche sich nicht emn erstos Integral dor Form V == (p ( U), sondern
komplizierteren Baues ergibt; aber leidei fragt er niclit nach den Bedingungen, unter weichen emn orstes Integral der Form V = p ( U)
existiert; er wiire sonst notwendig auf die ailgomeinere sogrenaunte
Ampi'resche Form der Differentialgleichnng 2. Ordnu-ng geftilirt worden, die noch emn additives Glied E(rt - s2) besitzt, aber trotzdem
priuzipioll nicht seliwierigor zn integrieren ist als die von ihm betraclitete lineare GleichnnDg. Ubrigenis war Mon go die Einsicht in
die Wichtigkeit der Verbindung rt - s2 nicht verscblossen; dioser
Ansdruck, der schon 1760 in den Eu lerschen Untersuchungen fiber
Flachenkriimmung anftritt, findet sich in verschiedenon von M onig e
untersuchten Differentialgleiehungen, wie
5) rt - s2+A ==0 und (rt -S2)2 +4rs=0,O
wieder.)
') Histoire de l'Acad6inie des Sciences 1783 (1786), p. 143. 2) Ebenda,
1767 (1770), p. 561ff. Borda bezeichnet die Aufgabe als Problem von Lagrange. 3) Ebenda 1787 (1789), p. 309ff 4) Vgl. diesen Band S. 550 oben
and S. 569. 5)Histoire do l'Acadl'mie des Sciences 1784 (1787), p. 89, 157,
endlieh p. 561, 562.