Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen. 10

1009

auf diese zuriickgekommen; erwahnt sei von ihm die, Behauptung'),
daB man bei Kenntnis zweier versehiedenen vollstiindigen ersten Integrale aligemein das vollstiindige endliche Integral finden k~nine, indem
dz~~~~~~~~~~~l
man zuerst d~' sodann dz u ee lmnee n.dedrhpr
dxl ~dy u ee lmnee n i ueipr
tielle Integration nach x bzw. y gebildeten Integralgleichungen miteinander vergleiche.
Weiterhin ist Mon ge zu nennen, der abweichend. von Laplace
unter einer linearen Gleichung 2. Ordnnng jede Gleichung
Air + Bs + (Ct + D = 0
verstehit, wo r, s, t in liblicber Weise die partiellen Ableitungen
2. Ordnung bedeuten und. A, B, C, D beliebige Funktionen von x, y,
z, p und. q sind, der also nur verlangt, daB r, s Und t linear auftreten.2) Das Verfabren ist genau dasselbe wie sonst: Reduktion auf
totale Gleichungen. Die Relationen
dp == rdx + Msy und. dq = sdx + tdy,,,die nichits Neues sagen", gestatten zwei von den drei Gr~f~en r, s, t
zu eliminieren, Und man erhillt:
Bdp~dy + Cdqdy - Cdpdx + Ddy2 r -r(Ad y2 — Bdxdy + CdX2}
Adpdy ~ Cdqdx + Ddxdy = s{ Ad y2 - Bdxdy + Cdx2)
A dpdx - Adqdy + JBdqdx + DdX2 - tA dy2 - Bdxdy -F Cdx2}.
Damit diese Gleichungen nicht -,.s, f in x, y, Z, p, q bestiinmen
kijunen, muB gleiehzeitig
Ady 2- Bdxdy ~ CdX2- 0
Adpdy + Cdqdx + Ddxdy 0
Bdpdy + (J(dqdy - dpdx) + Dd y2== 0
A(dpdx - dqdy) + Bdqdx -1 DdX2-= 0.
Von diesen vier Gleichungen sind. zwei die Folge der beiden
ilbrigen; sie erfahren, wie Monge in seiner Application zeigt, mit
Hilfe der (Charakteristikentheorie eiue einfache geometrische Deutung.
Dieselbe Deutung des Wortes simultan, die schon frillier deti Zusammenhang zwischen totalen und partiellen Gleichungen vermitteln
1)Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 95. Der Aufsatz stammt aus dem
Jahre 1774. 2) Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 126ff.
Ygl. auch Me~moires de l'Acadenmie de Turin 1784/85 (1786), p. 31 if.; ferner
Histoire de l'Acad~mie des Sciences 1783 (1786), p. 720, woselbst die speziellere
Gleichung Lr + Ms + Nt == 0 auf totale Gleichungen reduziert, auch die Gleichung der Minimalfialchen behandelt wird.