Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partiell Differentialgleichungen. 10

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geniigt. Durch dieses Ergebnis wird Laplace veranlaBt, den Ausdruck
>/Z. q& ) ~/'aPIz.
genommen. von einem konstanten Wert von z bis z == s bzw. z = sI,
zu uantersuchen; er findet durch Differentiation, daB dieser Ausdruck
der Differentialgleichung geniligt, sobald p und p' partikullire Werte
von u sind, die eine willktirlicbe Konstante z eiusehlieBen und fair
z -~ s bzw. s' in Funktionen P und PI von der Art ilbergehen, daB
0 ' ) + mP und aPI+n'
Da der Ausdruck fUr u zwei willkiirliche Funktionen rp (z) und 4 z
enthUilt, erkilirt ihn Laplace fdr das allgemeine Integral. Endlich
sind noch verschiedene andereiDarstellungen des bestimmtenlIntegrals
angegeben; so erhUilt man verm~ige der Substitutionen =st bzw.
Z ==s't die folgende zusammeingezogenue Form
w() zwischen den Grenzen 0 und 1 integriert wird, und q und q'- aus
p und f' hervorgehen. Besonders behan3delt wird der Fall, daB 1, rn, n
konstant sind; hier ist J7(s - z) gleich dem Prodnkt aus e-"'r
nnd einer Funktion der einen. Variabein
0 =- S~ (S - )
die der gewih-nlichen Differentialgleichung~
0 = (1 -rn) y + (a) + 0 a
und den Anfangsbedingungen
ffir 6 == 0 genu~gt; diese Funktion war tibrigens scion Bernoulli
und Euler hegegnet. Fir
I - rnn=0
reduziert sich das Integral auf
u = e-?t-3';P~ IT (9(S) +?,(I) 1
Der schon in der ersten Abhandlung besprochene Fall

1) Gr~f~enteils ilacli Burkhardt a. a. 0., Heft 2, S. 398ff