Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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1004 ~~~~~Abschnitt XXVII.

besteht. Die Bedingung, daB z keinen h~heren als den r ten Differentialquotienten der willikfrlichen Funktion 'p enth'ailt, ist, dann, wie
sofort ersichtlich,
0 =l (r)~
ist sie ftar kein endliches r erftillt, so ist die Gleichung - vorausgesetzt, daB
die Laplaceschen Behauptungen tiber die notwendige Form des Integrals richtig sind. - auch nicht in endlicher Form integrierbar,
dieser Fall tritt z. B. im ailg~emeinen ei, weun 1, m, n konstant, sind 1).
Ganz die gleiche Methode wiirde am Platze, seim, wenn man von vornherein niclit ip, sondern 'p gleich Null gcsetzt hiitte; Laplace gebt
deshaib gar nicht auf diese Frage cmn, son dern wendet sich zur Betrachtung des Falles, daB T niclit identiseli Null ist, welcher cine
analoge Behandlung gestattet.
Indem Laplace des weiteren die angegebene Bedingungsgleichung
fur Integration in geschlossener Form als Bestimmungsgleichung fuarr
auffal~t, erhiilt er in endlicher Form integrable FiilleY ) Auch ist noch
gezeigt, daB der Ausdruck far z, sobald er cine nur endliche Auzahil
von Intcgralzeichen enthuillt, immer auch durch willkiirliche Funktionen
und deren iDifferentialquotientcn allein dargesteilt, werden. kann, oder,
wie Laplace sich ausdrilckt, notwendig von Intcgralzeichen frei ist3);
endlich ist noch auf die Integration unter gegebenen Anfangsbedingungen eingegangen. 4) DaB mit der Integration einer einzigen
der Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich der lReihe nach ergeben, die aller ribrigen durch Quadraturen oder Differentiationen
grefunden wird, erwiihnt L a ptacec, offenbar weil selbstverstiindlich,
nicht.
Sp~ter5) kommt Laplace auf seine Ergebuisse zurflck und stellt
sie in folgender Form dar: Jede lineare partielle Differentialgleichung
2. Ordnung, sagt er, kann in der Form dargesteilt, werden
0 (dam)+ m(<)au + (a) + lu,
wo M, n und 1 gegebene Funktionen der Yariabeln. s und s' sind.
Yersteht man unter cp,(s) das Integral J,.8 ' (~s), unter 'p, (s) das
Integral,Js991(s) usf., desgleichen unter 4'1[(sl) das Integral" fs'?P(s'),
unter iV2 (sI) das Integral /4s'iP1(s') nsf., so ist,
') Histoire de I'Acad&~mie des Sciences 1773 (1777), p. 369. 2) Ebenda,
p. 380. ~ 3) Ebenda, p. 382 if., speziell p. 395. Auf die im Text angefUihrte
Behauptung kommt Cousin ebenda 1784 (1787), p. 420 zuriick und stellt eienel
entsprechenden Satz ailgemein fiiir Gleichungen nter Ordnung auf: ebenda, p. 429.'
4) Ebenda 1773 (1777), p. 396. Ebenda 1779 (1782), p. 268ff.