Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen. 10

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ZM dA+ mA p~co)~~ + ) + jcA p I (co)
iiber, die sich wegen der fUr A geltenden Relationen atif
) A' p(~co)
reduziert. Das heil~t niclits anderes, als z(I) ist Integral einer kanonischen Differentialgleiehung 2. Ordnung und enthiilt nur eine willkiirliche Funktion cpi(co), aber keinen ilirer Differentialquotienten.
Dieser Fall ist aber als der einfacliste bereits untersucht und die
Bedingungsgleichung ftir sein Bestehien aufgestellt; sie lautet
0 -(j i' mM
Die kanonische Gleichung 2. Ordnunug in i) in', nt, 1' hat sich ganz
unabhiingig von der speziellen Annahme fiber die Formn des Integrals z ergeben; sie wird also auch Geltung habeni, wenn
z ==A T(o') -t- AI - ci~(c') + A"I`- (co).
Dureli Substitution dieses Ausdrucks in die urspriingliehe Differentialgleichung (mit der abhiaingigen Veriinderlichen z) ergeben sich aber
Gleiehungen fMr A, A', A,", deren Beriicksiehtigung
- ~ ~) mAl]. cp,(ou) + [(7 ) + A"o
liefert. Und das heil~t gar niclits anderes, als zv(') enthiilit eine willkllrliche Funktion qI(co) und deren erste Derivierte qj(co), weshaib
auf die Differentialgleiehung 2. Orduung zi') die Uberlegungen des
eben untersucliten Falles angewendet wverden kdnneii.
So kann man weiter schliel~en. Die bei dieser Methode -- Kaskadenmethode hat man sie spliter genannt - auftretenden Gr~iler P(r),
mn(r), 1(r), 2(r) mit dem Index r- gehen aus den fl, nil,, z mit demn
Index r - 1 genau in derselben Weise hervor, wie die IiI, nil, 1', z'
ans i, mn, 1, z selbst. Der Wert von J(r) IRilt sich indessen leicht,
independent darstellen, da, wie Laplace zeigt, die Gleichung
0 co + u~
mit dem, Integral
')Diese Gleichung gilt natfirlich nielit ftir einien beliebigen, sondern nur
fuir denjenigen Index r, der das Abbreehen der Reibe fuir z bewirlit.