Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 10

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enthulit; des weiteren findet er, dab die Argumente von (p und gb
Funktionen von den Yariabein co bzw. 0 allein sein mUssen, ein Urnstand, der eine ganz bedeutende Vereinfachung des Integrals zur Folge
hat, da sich Ausdrticke wie f EC-0 p(ca) auf einfachere Formen, also
hier Tp (co). fE a 0, reduzieren lassen.
Nach diesen Voruntersuchungen wendet sich Laplace der eigentlichen Aufgabe zu; er verlangt, daB die willkiirliche Funktion niclit
unter dem lIntegraizeichen auftreten soll, setzt Ti == 0 und Vtberdies
zur Vereinfachung auch iP == 0. Die einfachste Form, die das Integral
dann haben kaun, ist
z A cpA - ).
Laplace substituiert diesen Ausdruck in die kanonische Differentialgleichung und setzt - die Berechtigung hierzu ist leiclit einzusehen
- den Koeffizienten von p)(o) sowie den der Abgeleiteten pl(co)
gleich Null. Es ergibt sich so
0 mA und 0= + mn ( +) n ()+ lA.
Aus dieser Gleichung lassen sich aber mit flilfe der ersten und der
daraus durch partielle Differentiation nach co hervorgehenden Gleichung
die Differentialquotienten von A eliminieren: man erhuilt nach Diviion mit A die Bedingung
von deren Bestehen die Existenzmdglichkeit eiiies Integrals der Form
z up (qco)
abhuingt. Diesen Weg schliigt indes Laplace nicht ein, sondern sagt,
dab die Differentialgleichung
mittels der Substitution
(a) + n
ina
itbergeht; unter der Annahme
A (
reduziert sich daun die Gleichung