Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVII.

diges" Integral in endliclier Form nur dann mdglich, wenn 6 = 0 ist;
das schlielft nattirlich niclit aus, daB oft partikuhire Integrale in geschiossener Form angegeben werden kUnnen. Als zweiten Ausnahmefall nennt Laplace das Bestehen der Gleichung
1 2
4 a
heutzutage als paraboliseher Vail bezeichnet; hier sind die Gleichungen
fMr co und 6 niclit mehir untersehieden, man erh'adlt nilmlich
Man kann aber, wie Laplace zeigt, diesen Fall auf den Typus a ==0,
/3=0 reduzieren, weuan man aus
o 1 ac
— YU1ay\
die Variable x als Funktion von co und y berechnet und den betr.
Ausdruck in die gegebene Differentialgleichung eiuftifirt, so daB also
elne Gleichung in z, co, y entsteht.1) Fir die folgende Untersuchung
wird von Wichtigkeit, was Laplace Uiber die Form der Integrale der
linearen Gleichungen 2. Ordnunag behauptet. Nach eigener Aussage
hatte Laplace beobaclitet, daB die willkiirlichen Funktionen im
Integral euler linearen Gleichung immer selber linear vorkommen.
Differentialquotienten und Integrate der willkiirlichen Funktionen
zieht schon E ule r zur Bildung des allgemeinen Integrals heran;
berticksichtigt man endlich noch die Arbeiten Condorcets auf
diesem Gebiet, so ist damit aufgezii'hlt, was Laplace fiber den
Gegenstand bekanut war. Auf die Methode, wie er sodann die Form
des Integrals von vornherein zu erinittein sucht, kann, wenugleich
auf die inifihsame Untersuchung eminenter Scharfsinn verwendet ist,
hier nicht eingegangen werden, da ihre Darstellung zu viel Platz beanspruchen wtirde, und der Wert der betr. funktionentheoretischen
Schliisse wenigstens ohne Modifikationen and Ergiainzungen verhiltnismiiig gering ist. Laplace kommt durch Itberlegungen, die er fUr
die Gleichung 1. Ordnunug ausfillrlich angibt, zun'dchst zu dem Re'sultat, daB (las Integral die williklrlichen Funktionen q? und 4', wieC
bereits beobachtet, linear und wiederholt ditferentiiert oder integrriert
1)Auf diesen Fall, der sich irumer auf die Gleichung der Warmeleitumlg
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de l'~cole polytechnique, cah. 15, 1809, p. '235.