Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

190

Abschnitt XX.

90 Abschnitt XX.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
erreiclit habe. Euler schreibe in seiner Algebra (j/- 3 = - 3,
setze aber )/Z. J/1i7 = J4 == 2. Wie kiiune die Gleiclhbeit oder
U-ngleichheit der Faktoren die Zeichen beeinflussen? Er selireibe
auch Y J- 1, woraus j/- I k- 1/- I i/~1 zu ziehen
sei. fTber die BehauptuLng von Emerson, daB das Produkt imaginiirer Griien selbst imagintir sein miisse, bem-erkt Hutton, daB
die Schriftsteller in ihren Ansiebiten hierilber ziemlich gleich geteilt
seien.
Jmaginiire Zahlen werden in der Geschichte der Gleichungstheorie selir oft auftreten. Auch spielen sie in der Diskussion Uiber
Logarithmen von negativen Zahlile eine hervorragende Rolle.
Wir lassen nun einige Einzeluutersuchungen folgen.
Die Zerlegung eines Bruches in Partialbrtiche wird von Ni colanus
FuB in semnen Meditationes circa resolutionem fractionis
'XnIx- a)(x - b)(x - c)(x - d) etc. in fractiones simplices, ubi
simul demonstratio insignis theorematis aritlimetici occurrit') durch einen von dem Yerfahren Eiilers in semnen Institutiones,
calculi integralis verschiedenen Vorgang ausgefifihrt. FuB setzt
(I), (xm/(x - a) (x - b) (etc.) == c/x - a + fl/x - b +..., multipliziert
nun mit (x - a) und nimmnt x == a, woraus cc = al"/(a - b) (a - c)(etc.)
hervorgehit. Die gleiche Methode ergibt die Werte von f,,
Multipliziert man beide Seiten von (I) mit x, und setzt x == x, hat.
man 1 == a -j- i -f- -., wenn rn + 1 der Anzahl Faktoren n gleich
ist; weun aber in + 1 < n ist, ergibt sich 0 == a + /3+. Letztere
Forzneln enthalten den im Titel angedeuteten arithmetischen Satz.
Eine neue Bruchvereiufachungsmethode wurde von Euler in der
Abhiandlung Nova methodus fractiones quasconque rationales
in fractiones simplices resolvendi2) auseinandergesetzt. Wir
wiihlen das einfache Beispiel eines Bruches - dessen Nenner den Faktor
(z - a)2 hat. Man setze z a + co und gebe dem Bruch die Form
A + Bw 4+0Cc+ 1 1 ( lO+yO
woraus sich ac =,/3= A - -AU.. ergibt. Die Methode ist audi
auf transzendente Funktioneu anweudhar. In der Behandlu-ng des
Bruche - csi (1 wer-den, im Laufe der Analysis, imagina~re
')Acta Acad. scient. imp. Petr. pro anno 1777, pars prior. Petropoli 1778,
p 91-104. 2) Ebenda. 1780, pars prior. Petropoli 1783, p. 32-46.