Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totalk und partiele Differentialgleichungeii.99

9.99

X'fdu X ifddu
qXu + d +dx
wo X, X', X".. passend zu bestimmende Funktionen vou x sind.
Laplace hat die Eulersehe Idee der Zurnickfiahrungr der partiellen Gleichung 2. Ordnung auf die eben angegebene kanonische
Form wieder aufgegriffen; er fragt daran anknllpfend nach Bedingungen,
unter weichen diese in endlicher Form integrabel ist. FUr das Entstehen seiner Abhandlung sind E ulers Vorarbeiten in versehiedener
Weise bedeutungsvolt geworden: die Transformation (transformation)
selbst, die Ausnalimen, die sie erleideti kauin, das Auftreten der Differentialquotientenl oder Integrale der willkiirlichen Funktion in der
Integraigleichung, dies alles hat, xvie Laplace selbst zugestehtt),
schon Euler. Laplace s Verdienst ist, daB er die m6gliche Form
des Integrals genauer festlegt, daB er nicht wie Euler nur Differeintialglieicungen suclit, die in geschlossener Form integrierbar sind,
sondern die Bedingungen hierftir in Form von Gleichungen angibt,
da.B er endlich -und darauf legt er selbst grol~en Wert - alles
analytisch, in bequemen Formein darsteilt. Laplace reduziert wie
Euler die Gleichung
in welcher alle Koeffizienten Funktionen von x und y, aber nicht
von 2 siud, durch Einfiihrung naeuer Yeriinderlicher o und. 0 auf die
Normalforin
0= Z + m( -it()+ lz +
wo jetzt mn, n, und I Funktionen von co und 0 sind. llierbei sind
die alten und die neuen. Variabein dnrch die Gleichungen verkniipft:
und
Diese Gleichungen reduzieren sich, wenn gleiclizeitigr a =- 0 und
0, auf (x =) 0 und ( =O - 0 d. h. co und 0 sind Funktioneu
von y allein; in diesem Fall, den audh Euler scion. eingehend behandelt hat, ist, wie Laplace im folgenden findet 2), emn,vollstdn')Vg1. hierzu Ilistoire de I'Acadd'mie des Sciences 1773 (1777), ilistoire
p. 43 if. ~ Ebenda, p. 360. Vgl auch Md'moires, pr~sent&s par divers Sava us8,
t. VI (1774), p 656.