Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Absebnitt XXVIL

gelibiren die Substitutione-n z = Pv 1) und z == P -1 v, wo unter P
und v Funktionen von x und y zn verstehen sind. Wiobtiger ist die
Einfifihrung neuer unabh'aingiger Yariablen t und u an Stelle, von x
und y; die Formein, welehe die Differentialquotienten nach x und
y in den neuen Verijuderlichen ausdriicken, steilt Euler fair den
spalteren Gebrauch in Ubersichtlicher Weise zusammen. Der Behauptung, Euler behandle die Gleichung 2. Ordnunug methodiseli, planminBig mittels Transformnationen, scheinat nun zu widersprechen, dab
er in den zun'dchst folgenden Beispielen die Methode der Reduktion
auf eine Normalform durch Einf~ihfrung nener Variablen nicht anwendet. Indessen handelt es sich hierbei urnBeispiele, die sich eben
auf auderem Wege einfacher oder rascher erledigen lassen als durch
jene immerhin einen ziemlichen Formelapparat erfordernde Reduktioin.
So behandelt E ul er zuerst aussehlieBlich Gleichungen, weiche nur
einen einzigen von den Differentialquotienten 2. Ordnung enthalten.
ddz
Die Gleichungr d =- P, wo P eine Funktion von x, y und z ist, integriert Euler, indem er y als konstant, ansiehit und nachtraiglich
diese Beschr~inkung fallen 10t; er erhiilt schlieBlich
z fdx, /Pdx + xf(y) -F F(y,).
Die Gleichung
(- ) == + Q
MUf~ sich mittels der Substitution
( d'
behandeln, wenn. P und Q die Variable z nicht enthalten. In
letzterem Fall hat man sich y als konstant zu denken und die totale
Gleichung
ddz — Pdxdz + Qdx2
init dem Parameter y zu integrieren; das ailgoemeine Integral (,,integrale
completum") ergibt sich, wenn man die beiden Integrationskonstanten
durch Funktionen von y ersetZt.2~) In der Gleichung
(ddz
d-x dy) ==a z3)
setzt Euler
Z == etrx }T
1) Institutiones calculi integralis, vol. 11I, p. 194. 2)Ebenda, p. 20O.)
Man beachte, daB emn derartiges Ersetzen von Konstanten durch variable Grd~eI1
der Entstehung einer besonderen,,Methode"l der Variation der Konstanten 11iir
giinstig sein koniate. 3) Ebenda, p. 221.