Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.93

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1ddz ddz k2
a a dt2 d X2 XX'
in der also das Glied mit dz fehit, durch die Substitutionen
m t (-1~ /1 + -c); k'- k~+1v1/-+ 4 k d z rat
1 ddi. ddu k'u
aa dt dx2 xx
fibergeffihlrt wird. Setzt man k =O, so ergibt sich 1< 2, daraus
=' 6 usw. Ferner ist die Gleichung der Saitenschwingungen
(ddz\ (ddz~
d~-t2!==aa d-.2I
verm.8ge der Substitution
(t ) + a ( x = )
auf
/du\ du\
das ganze Problem also auf die Integration zweier linearer partieller
Differentialgleichungen 1. Ordnunug zuriickgefifihrt, die durch Benutzung
der Gleichung
du-:: (itd + t x / dx
zuniichst auf
tf =F(x -4 (It)
und damit, zum aligyemeinen Integral fibhren.
Gegentiber diesen Untersuchungen, die alle den Cbairakter des
Willktirlichen,7 Zuf ililigen an sich tragen, bedeutet die Behandlung
der partiellen Gleichung 2. Ordnunug in E u 1 e r s Integralrechnung
einen ganz wesentlichen Fortschritt. E ule r schiebt nim lich nach
den Gleichungen 1. Ordnung, bevor er zu h~heren Gleichungen Ulbergelit, emn eigenes Kapitel ein, das nur von der Umformung der partiellen Differentialgleichungen dureli Einfiihrung neuer XVariablen
handelt, und zeigt so schon dureli die ausgezeichnete Stellung, die er
diesen Untersuchungen ei-nriiumt, sowie durch die eingehende Behanadlung der ganzen Frage, daB er die Integration der biiheren partiellen
Gleichungen prinzipiell auf ihre Transformation in eine geeignete
kanonische Form gegriUndet wissen will. Die von Euler behandelteri
Transformationen zerfallen in zwei Arten; die erste ersetzt nur die
ajbhiingige Variable z durch eine neue v, w~brend die unabhiaingigen
Verandlerlichen x und y in der Gleichung belassen werden; hierher