Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVIL

lNergang zum ailgemeinen Integral der gegebenen partiellen Gleichuing geschieht dureli 'ihnliche Sebl-ilsse wie beim Problem der
Saitenschwingungent und ergibt
~ c F" (x +tV9 ) ' J (X - t/~)
wo F und 4 willkiirliche Funktionen, F', F".. ',f 4",. ihke
Abgeleiteten und A, B, C,... die Entwicklunigskoef-fizienten der La -
grange schen Form des Integrals der Rieceatischen Gleichung sind
(vgl. S. 912), wenn man in diesen - in dureli m + 2 ersetzt. La -
grange kntipft daran auch die Bemerkung, daB3 die -spezielle aingewandte Methode stetige Ainderu-ng von z zugleich mit x voraussetze, weshalb F und J niebt vbillig beliebig seien.') Endfich beschiiftigt sich Euler 2) mit der Integration3) von
jddz\ ca~(ddZ' b (dz\ + c
d akdX2mxkx~~
diese Gleichung wird durch die Substitution z = — x~u in eine Gleichung
derselben Form iibergefiihrt, was die Wegschaffung des Gliedes mit
du
dxdureli passende Wail von t erimoglicht. Euler setzt emn Integral in folgender Form an:
z ==Ax",F(x + at) + Bx,"+'F'(x ~ at) +1.4)
und findet als Redingung fur das Bestehen dieser Gleichung die
Relation
t?- (n -- )
1st n eine neg'ative gauze Zahi, so briclit die Reihe von selbst ab,
und man gewinnt auf diese Weise wieder integrable F41lle. Euler
integriert die Gleichung auch in der Form, daB die willkirlicee
Funktion statt differentiiert wiederholt integriert auftritt; interessanter
scheinen verschiedene Bernerkungen, welche zeigena, daB sich E ule r
schon damals mit der Umformung partieller Gleichungen 2. Ordnunig
durci Transformatioin, weni gstens in speziellen Fijien, beschiiftigt hat.
So ist darauf hingrewiesen, daB die Gleichung
1) Miscellanea Taurinensia, t. I12, 1760/61, p. 92. ')Ebenda,t.l,
1762/65 (1766), p. 60-91. 31) Erwilbnt sei fogende Ausdrucksweise: la solutioll
compl?~e qui nous de'couvre ~6 la fois toutes les fonctions possibles (sc. weiceb
die Differentialglcichung erftillen). Ebenda, p. 60. 4) Das ist dieselbe Form,
die wir eben bei Lagrange getroffen haben; die beiden Resultate lasse"l BiC1
leiclit ineinander fiberfiihren.