Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

862 79. Rapitel.
dem ist von dem nahe bei D gelegenen Punkte A aus die AN
parallel zur Grundlinie gezogen. Proprietas specifica der Cycloide ist
PD = arc CM + MD, eine Behauptung, von deren. Wahrheitma
sich leiclit iiberzeugt. Nach heutiger Schreibweise ist, wenn P die
Bezeichnung des Fusspunktes der Ordinate von P giebt und HIP = x
CE = 2 r arc JIFE== ra gesetzt wird, x =-r a- r sin a. Mithin ist
PD == HE- x == r (zr - a) + r* sill a.
Dabei ist, aber r (z - c) == arc CM, r sin a == MD, also die Fermat'sche Gleichungsform hergestelit. Die Abkiirzungen, deren Fermat
sich bedient, sind DB =A, DA== E(wie, immer), DA = B, MA = D
MD=== R, PD== Z, arc C OM =- N Die erste Gleichung heisst
also 1) Z == N + P. Ferner ist.
NA=- arc CO + OA = arc (131 — arc 111 + QE,
und bei der Kleinheit von DE filit, arc MO mit dem. Tangentenstilek
71 F nnd zugleich 0A mit VA zusamnmen. Es ist also
NE==N -M V+ VA'.
Da aus der Aelinliclikeit von Dreiecken PD: NE -= DB: EBl folgt,
so ist tinter Einfdhfrung der scion gewonnenen Werthe
2) (N+PB):(N-MNV+ VEA ==A: (A -A).
Aber MV entspricht der Proportion 71fF: MA == DE: DA und ist
folglich ]J/JV =?ii i. Die andere noch ansznrechnende Strecke VA4
B
entspricht der Proportion VA: MJD == AA: DA4 und ist demnach
FE -R-(Bi-jE So gelit die Proportion 2) fiber in
nud. diese zur Gleichung nmgebildet liefert nach Wegschaffung des
Nenners B und Wegstreichung gleicher Groissen auf beiden Seiten
die einfachere Form A (PA + J)A - BIN - BR) ==0. Man lilsst
den Factor A weg und. erhalt A == B(N 4-b) _BZ ntrMt
benntzung von 1). Nun ist heim Kreise niclit schwer zu beweisen,
dass die Verbindnngsgerade MC den Winkel AMD halbirt, dass
also AMX: D M = A C: C D. Darans folgt A M: A C = DM: (CD,
ferner
(AM +11D): (AC + CD) = DM1:CD
oder (AM + MD): AD DM: CD und A KD - D4 d. h.
B CD Mti CD R-ID Oder MD: CD==PBD:PJ)D
I~F+ i MD1MD1
und das findet, statt, wenn PB jj MC!. Ersichtlich stelit auf der M3C