Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

838

78. Kapitel.

(Figur 152). Die Diametralebene A CED zerschneidet die beiden
Kdrper in dem Parallelogramme A CED und dem Dreiecke BED,
welche als Erzeugende der K~irper betrachtet
A ~ C werden k6nnen. Da das Dreieck mit dem Parallelogramme gleiche Grundlinie und ll~he besitzt, kann der 24. Satz auf diese Figuren aus/ if ~~gedehnt werden. Parallelsehnitte zum GrundEkreise D FEll schneiden Cylinder und Kegel in
F ~~Kreisen, welche sich wie die Quadrate ihrer
Fig. 1,52 Durelimesser verhalten, d. li. wie die Quadrate
eines Paares von Geraden des Parallelogrammes
und des Dreiecks. Die K~irper verhalten sich also wie die Gesammtheiten dieser Quadrate, und das ist wie 3: 1.
Wir wollen nielit lunger bei deni II. Buche verweilen, vielmebr
noch Weniges aus anderen Bllchern berichten. Der 11. Satz des
III. Buches') beschuiftigt sich mit der Quadratur der Ellipse. Ist 2 a
deren grosse, 2b deren kleine Axe und construirt man mit letzterer
als Durelimesser den eingeschriebenen Kreis, Utberdies das der Ellipse
umschriebene Rechteck und das dem Kreise umschriebene Quadrat,
so ist vorhergegarngenen Siitzen leicht zu entnelimein, dass die Ellipse
und der Kreis sich wie jenes Reebteck und jenes Quadrat, diese sich
wie die grosse mud kleine Axe verhalten, dass also a b z die EllipsenflUiche darstellen muss. Des Weiteren sind im III. Buche jene Urndrehnngskb5rper von Kreisabschnitten auf iliren Rauminhalt gepriift,
mit welchen Kepler sich theilweise mangelhaft besch~iftigt hatte.
Der 1. Satz des IV. Buches 2) (Figur 153) spricht aus, dass emn Pa

____(iAr LI
F a~ ~ 0 ff
Fig. 153.

allelogramni AEHE, der Parabelabschmitt FC3IH nnd das Dreieck P0K,
deren Laoenverb~iltuisse aus der Figur
einleuchten, sich wie 6:4: 3 verhalteii.
Man zieht NM1F[ OG 1EH. Vermbige
der Eigeuschaften der Parabel ist
E H: NM == CE': ON2

oder No: N]Jl-CE2: N2.
Die Gesammtheit der NO verhuilt sich desshalb zur Gesammtheit der
NM, d. h. das Parallelogrammi C GHE zu dem dreilinigen Raume,
trilineum, OMHE wie die Gesammtheit der Quadrate der Geraden
im Parallelogramm CGIIE zn der der Quadrate der Geraden ON,
d. hi. der Geradeni im Dreiecke 01fF. Deren Verhiiltniss war 3: 1
mithin ist -das erwiihnte Trilineuma emn Drittel des Parallelogrammes,
') Indivisibilien pag. 213. 2) Ebenda pag. 285-286.