Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Cibrigen Schriften des Leonardo von Pisa 4

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beginnend, wobei, wegen des fortwdhrenden Zunehmens der ungraden
Zahien, die Anzahl derer, welehe die Summe in der Form x2 2 _- i
lieferte, h~iher ist als die Anzahl derer, welehe x32 2 hervorbringen, z. B. 25 - 1=~3-4-5 +7+ 9, 49 -25 =11t+ 13. Der
Untersehied selbst ist eine dureh 24 theilbare Zahi von der oben erw~lhnten Natur und heisst ein C o n g r unm 1), die Qu adrate X1'2 un d
XI)heissen congruentes2) und Leonardo zeigt nun, wie emn Congruum zu linden sei. Er zeigt auch, dass emn mit euler Quadratzahi
vervielfachtes Congruum die Eigensebaft emn Congruum zu sein beibehalte, und dieser Satz bietet die llandhabe zur Ldsung der Aafgabe, bei gegebener Differenz die drei Quadrate zu linden, falls die
Differenz nieht durch 24 theilbar, also sieherlich kein ganzzahliges
Congrunm ist. So war es in dem von Johann von Palermo aufgegebenen Beispiele mit der Differenz 5. Leonardo suelit zuerst emn
ganzzahliges Congrnnm von der Form 5y' und findet es als
720=512 2 ==4.-5.-4(5 + 4) (5 -4),
d. h. bei a- ~, b- 4. Diese Werthe geben -a 2 +2ab + b2= 31,
a2 +b12-=41,7 a2 +2ab -b2-==49 und 3 12 +720=412,
412 + 720 = 492. Endlieli ist also nur~ noeh dureli 12 2 Alles zu
dividiren, um zu den Gleichungen (31)2+ 5 = ~) 92+ = 9)
zu gelangen, welehe die gestellte Aufgabe erfifilen. Bei den vorbereitenden Untersuehungen war Leonardo gen6thigt, den Zahlenwertli des Verhiiltnisses azu beriicksichtigen, und er hatte die Falle
unerschieden, wo < - -- war Nunmehr beweist er die Unm~ga a
lielikeit von a a = xb. Aus dieser Unmn~glichkeit folgt nun freilich,
b a -- b
dass a b(a + b) (a - b) nielit =: [b (a + b)]2 nnd 4ab(a + b)(a -b)
nie ht == [2 b (a + b)] sein kann. Leonardo gelit aber weiter und
~sehliesst, es k~nne ilberhaupt keine Quadratzahl emn Congrunm sein 3).
Flier seheint eine Lileke in dem sonst voilkommen' strengen Gedankengange vorhanden, ohne welehe man fMr Leonardo emn unbeStimamtes Erstlingsreeht fMr die Erfindung des Satzes beanspruchen
UJIisste, dass zwei Biquadrate kein Biquadrat zur Summe haben k~innen.
Aus X22-c = Xj1 und X22 + C= X32 folgt niimlieh X24-_e2 = (XX3 ) 2
'undr24 2+(X1X3 ) 2. Kann also c kein Qnadrat y 2 sein,~ so ist
Un'm~glieh x 24 == y4 + (X1X3 )2, also ebnsnnm6glieh der Einzelfall,
')Leon. Pisano LI, 266: qui vocetur congruurn. 2)Ebenda pag. 270:
Pl~adrati congruentes facto congruo. ') Ebenda pag. 272: nullus quadr-atus nualOHas potest esse con~gruum.