Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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41. Kapitel.

laufende Ungleichung a' < A < (a + 1)3 erfifl~t. Diese Ungleichunng
Iiisst sich auch 0 < A - a'< <3 a (a + 1) -+ 1 sehreiben, oder die Zahi
a 1st richtig gewibiht, wenn der Rest A - a < 3a (a+ 1) +1 1st,
denn die Vermelirung des Kubus bestelit auis 3I a- (a + 1) + 1, sofern
eine \Termehrung der Kubikwurzel a urn die Eiuheit stattfindet. Nirnmt
man bei kleiner Vermeliruing eine ProportionaliltR zwisehen denl Ver'inderun~gen der Wurzel und des Radicanden an, so MUSS, wenu. der
Radicand um. 1 waiehst, die Wurzel umn~(f1 waclisen. Der
Znnahme des liadicanden urn A - a 3 entsprieht also, immer unter
der gleichen. Annahme der verhiiltnissmnassigen Aenderungen, eine
Zunalime der Wurzel nm ~ '-oder in zweiter Anniiherung
3a(a+ +1)+ 1
1st i A c\-a+ 3ac+)1 Beispielsweise setzt Leonardo
i/9- ~+900 -729
woftir man 9-Z- seireiben d-Cirfe. Ferner j'24 cx 13+24527
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woftir man 13 1schreiben. diirfe, well 148 wenig mehr als, ein Viertel
von 547 sei. War nelih nach unserer bereits ausgresprochenen Ueber-,zengung Leonardo der selbstludige Erfinder dieses Verfahrens, so
ist damit keineswegs ausgesehlossen, dass ihm anf seinem Erflnderwege ein Vorbild vorsehwebte, geeignet die Richtung etwa anzudeuten,
nach weleher er sich bewegen. musste. Diese Annalime fillrt aber
rriiekwiirts dazn, dass wir von Leonardo's Kubikwu~rzelausziehung aus
die Quadratwnrzelansziehnng des Alkarehi (Bd. I, S. 722) verstehen
lernen. Wenn das Quadrat a 2 bis zum Quadrate der nieiicsten ganzen
Zahl urn 2 a + 1 znnimmt, und -wenn Verhlthnissmdssigkeit zwischena
den kleinen Veriindernngen. der Wurzel nnd ilirer Quadratzahl angenommen werden darf, so entsprieht der Veriinderung der Zahl urn
A - a 2 eine VeriUnderung der Wnrzel urnA oder es ist
2 a 1
i/ A c\- a +A a'i77, wie Alkarchil es vorseireibt. Dass Leornardo bei
Anszieiung der Quadratwurzel eben dieses Verfahren nicht lelirt,
kann nnts in. unserer M~einung nicit beirren. Bei der Quadratwurzel
ging er fiber die zweite Annilherung zn euler dritten hinaus, welehio
jim emn besseres Ergebuiiss verspraci. lBei der Kubikwurzel liess eor
sich gemn an der einen Bruchann~iierung geniigen.
Endlich der fiiln fz eihn te A bs ch ni tt vereinigt wiedler recht Uni
gleiciartiges in ungleichartiger Folge. Anfgaben fiber in stetigein
Yerh'Iiltnisse stehende Zahlen, Aufgaben geometriseher Einkleidung,
Anfgaben der,,Algebra1 und Almuchabala" weehseln zieralich bunt.