Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Arabische Zahlzeichen. Muhammed ibn MU-sh Alchwarizml. 61

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und Gegenfiberstellung, eri~ffnet, dlass jede Zahi zusammengesetzt sei,
und dass jede Zahi sich Uiber emns zusaihimensetze. Die Einheit also
wird in jeder Zahi gefunden, und das ist es, was in einem anderen
Buche der Aritlimetik ausgesprochen ist. Weil die Einlieit Wurzel
jeder Zahi und ausserhaib der Zahi ist." Der Anfang dieses JSatzes
his zu der,,einem anderen Buche der Arithmetik", in aijo libro arithimnetico, entuommenen Bemerkunog fiber die Ausnahmestellung der Emnheit findet sich aber nahezu w6rtlich in der Algebra des Mulhammed
ibn Mfisdl). Wir sihld also in der That berechtigt, hier unter dem
Name'n des Muhammed ibn Mh-sA Alchwarizmi' fiber jenes Rechenbuch weiter zu bericliten, fMir ihn in Anspruich zn nelimen, was aus
dem letzten Theile der hier mitgetheilten Stelle uuzweifelhaft hervorgeht, dass wer so selirieb, in der Zahlenlehre der Neupythagroriier
wobl geschult sein nilusste, welehe er nicht aus indischen Quellen
kennen lernen konnte, dass unter jenem anderen Buche der Arithmetik die spiiere sogenauinte spekulative Aritlimetik im Gegensatze
zur praktischen Aritlimetik (S. 6632) gemeint ist, dass dem Verfasser
darfiber Kenntnisse zu Gebote standen, welehe unmittelbar oder
mittelbar auf Nikomachus, vielleiclit auch auf Tbeon von Smyrna,
der am deutlichsten betont hat, die Einheit sei keille Zahl (S. 404),
zurfickgehen.
Nun wird das eigentliche Rechnen gelehrt, das Zahienselireiben,
das Addiren, bei weichem emn besonderes Gewieht auf den Fall gelegt ist, dass die Sumnme der Ziffern an einer Stelle 9 fibersteigt; die
Zeliner sollen alsdann der folgenden Stelle z-agerechnaet und an der
ursprfinglichen Stelle nur das geselirieben werden, was unterhalb 1()
noeh fibrig bleibt.,,Bleibt niclits fibrig, so setze den Kreis, damit
die Stelle niclit leer sei; sondern der Kreis muss sie einnehmen, damit nicht durch ihre Leerheit die Stellen vermindert werdeii u-nd die
zweite ffir die erste gehalten wird'12). Bei der Subtraktion wie bei
der Addition soil man bei der hdchsten Stelle, also links anfangen,
dann ziwr nachstfolgenden fibergehen, weil, dadureli die Arbeit, so
Gott will, nfitzlicher und leichter werde. Die eigentliche Seliwierigkeit der Subtraktion ffr Anfiinger, die Behandlung des Falles, dass
eine Stelle des Subtrahenden durch eine hdhere Zahi als die entsprechej~de Stelle des Minuenden erffillt, ist, wird niclit mit einem
Worte bertfihrt. Die dritte Operation ist das Halbiren, welches in
') The algebra of Mohammed ben Musa (ed. Rosen). London, 1831, pag. 5,
~3: I also observed that every number is composed of units and that any number
may be divided into units. 2) Si nihil remanserit pones circulum, ut non sit
differentia vacua: set sit in ea circulus qui occupet ea, ne forte cumn vacua fuerit,
minuantur differentiae, et putetur secunda esse prima. Trattati d'arithmetica I, S.
CAN~TOR, Geschichte, der Mathematik 1. 2. Aufi. 43