Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Bifithezeit der r~mischen Geometrie. Die Agrimensoren. 51

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Audi eine merkwiirdige Formel fur Pyramidalzahien lIiasst
aus den EinzelfRIllen sich erkennen, deren Ableituang freilich nirgend
gegeben ist, aber nachtriiglich sich leiclit errathen lIaisst, ohue irgend
Kenntnisse in Anspruch zu, nelimen,7 weiche niclit bei den Griechen
sich nacliweisen liessen. Nennt man die Summe der r ersten m teckszahlen die rte m eckige Pyramidalzahl und scbreibt daflir Pr,, so ist
die Definitionsgleichung P? M. p~~..+PM. Nun nehmen
wir an, es sei ausgehend von dem bekan-nten Satze
a2 I 132 -( ~(a +p (3)
die Umformung vorgenommen worden:
8(m - 2)
__[(in - 2) (2r - 1) ~ 2 + (in - 4)]. [(in - 2) (2r - 1) + 2 -- (mn - 4)]
8(m - 2)
_(m - 2)2r[(m -2) 2r + 8- 2] _ i- 2 2 m- 4
- *r -r.
8(m -2) 2 2
Setzt man die entsprechenden Werthe in alle Vieleckszahlen von
'm his rp em, so erh'ilt man
pr m- 2( 2+22+
P~, 2 (1 +2 r 2 (1 + 2+. +r)
Aber sp~itestens zu, Archimeds Zeiten (S. 298-299) war bekanntt
1+2 + + r r(r + 'l und 12 +L2 2 —I-. —r 2= r(r +1)(2r +1)
2 6
wenn audi letzteres noch niclit in der kurzen Form, deren wir uns
bedienen. Diese Werthe liefern
p m - 2 r(r +1)(2r +1) m -4.r(r~+1)
2 6 2 2
beziehungsweise
r r+ I[2(in-2)s 2 2(m- 4).r v 2~ - 4
und dieser letzteren Formel bedient sich der r~mische Schriftsteller.
Ja er kennt sogar die Summirung der r ersten Kubikzahien: 11 + 2' + * + r3=(r 1). Auch hier ist die Auffindung des Weges, auf welchem emn Grieche zu dieser Formel gelangen
konnte, mag er nun geheissen und gelebt haben wie und wann er
wolle,7 niclit allzuschwierig. Nikomachus, sagten wir (S. 403), habe
urn 100 n. Clir. die Beziehung zwischen den Kubikzahlen und auf