Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria.44

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Aligemeinheit wie bei dem vorigen Falle die Auf 1isung der Gleichung
axm + bx" = cxP' zu versprechen, sondern es lkann sich nur urn die
gemischten quadratischen Gleichungen handein. Allerdings treten dabei
drei Mb5glichkeiten auf, indem nach Ausftihfrung der vorbereitenden
Operationen, die im Obigen mitgetheilt wurden, entweder a x2 + bx-c
oder bx + c a x2 oder a x2 + c =: bx als Gleicliheit eines zweigliedrigren Ausdruckes mit einem. eingliedrigen erhalten wird, a, b, c selbstverstiindlich als positiv gedach~t. Das ist die frllhier erw~hnte Zusage
der Aufldsung gemischtquadratischer Gleichungen, weiche im vorhandenen Texte nirgend erfillit vielfach als erfUlilt vorausgesetzt wird,
und daher den Beweis des Verlustes jener Aufli~sung liefert.
Ueber den von Diophant bei der Auflisung einer gemiseliten
quadratischen Gleichung eingeschlageinen Weg gibt die 24. Aufgabe
des VI. Buches 1) wohi die deutliebste Auskunft. Die dort erhaltene
Gleichung heisst in modernen Zeichen geschrieben
6~ X2
Diophant sagt nun wi~rtlich wie folgt, wobei nur wieder moderne
Zeichen statt der griechischen Abktirzungen gebrauclit sind:,,Man
addire auf beiden Seiten die abziiglichen Gri~ssen, ziehe Gleichartiges
von Gleichartigem Ab und vervielfache Alles mit x, so erhUiit man
336x' + 24 = — 172x. Diese Gleichung aber lIiasst sich niclit aufl16sen, wenn niclit das Quadrat des halben Coefficienten von x, nachdem. man das Produkt der 24 Eiuheiten in den Coefficienten von X2
davon abgezogen hat, emn Quadrat wird."
NXas uns zuerst auffallend erseheinen mag, ist die Abhuingigkeit
der Aufi~isbarkeit der Gleichung von einier Bedingung, weiche iniclit
etwa besagt, es miisse die unter dem Quadratwurzelzeichen erscheinende Zahi emn Hinzuzufilgendes sein, was gleich bei dieser Aufgabe,
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in welcher x ~ -36 ist, niclit eintreffen wiirde, sondern welche,
wie einige Ueberlegung uns zeigt, darauf hinausliauft, dass die Wurzel
der Gleichung rational werde. Ersetzen wir -niimlich die bestimmten
Zahien durch allgemeine Buchstaben, so ist in der angefifhrten Aufgabe von der dritten Gleichungsform ax2 + c == b x die Rede und
als Kennzeichen der Auf 1dsbarkeit ausgesprochenl, es miisse b - ac
emn Quadrat sein. Wird aber die Gleichung mit dem Coefficienten
a von x2 vervielfacht und durch beiderseitige Subtraktion von
abx +ac - ( —) in die Form a 2x2 - abX + (b) = (b) -a

1) Diophant (Tannery) pag. 414, (Wertheim) S. 288-290.