Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Neupythagorailiche Aritlimetiker. Nikomaclius. Theon. 40

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vorn Theon besitzen, seliwer in ilim den Erfinder bedeutsarner arithmetischer Neuerungen zu sehen, und damit w~ichst urngekehrt die
historisehe Benutzbarkeit seiner Angaben filr alte Zeiten. Aelteren
Datums diirften daher auch die Dinge sein, auf welche zuriickzukommen wir oben zugesagt haben. Jede Quadratzahl, sagt uns
Theon 1), ist entweder selbst oder nach Vernminderung urn eine Emnheit durch 3 wie auch durch 4 theibar, und so entstehen vier Arten
von Quadratzahlen d-urch Vereinigung jener beiden selbstaindigen je
zwei Unterarten bedingenden Unterseheidungen. Es ist ziemlich
gleicligiltig, wann man diesen Satz entdeckte, der freilich der Lelire
von den quadratischen Resten angehi~rt, aber eine grosse praktische
Bedeutung nicht besitzt.
Ganz anders verhalt es sich mit den Seiten- und Diamet-ralzahien, zA~vQCC und &adp'E~og mit welchen Theon sich beschuIftigt 2). Die Entstehung dieser Zahien ist folgende. Ausgeliend von
zwei Einheiten bildet Theon neue Zahien, indem er einmal die beiden
gegebeneni Zahlen addirt 1 + 1 == 2 und das anderemal das Doppelte der einen Zahi zur anderen fiigt 2.- 1 + 1 == 3. Es soil hier nicht
versilumt werden, auf Aelrnliches bei Nikomachus (S. 402) erinnernd
zurtrickzuverweisen. Von den beiden so gewonnenen Zahien heisst
ihm die kleinere 2 die Seite, die gr6ssere 3 die Diametralzahi. Diese
Bildungsweise wird alsdann fortgesetzt, indem die Summe einer SeitQ
und ihrer Diametraizahi die folgende Seite, die Summe der doppelten
Seite und der Diametralzahl die folgende Diametraizahi liefert.
ileissen etwa alle Seiten cc, alle Diametraizahien 6 mit jedesmal beizuffilgender Ordnungszahl, so ist das Bildungsgesetz a,, - 1 + 6Y, - 1 == a,,
und 2 a,,,-1 + 6. -1 = 6,. Das Quadrat einer jeden Diametraizahi,
behauptet nun Theon, unterseheidet sich von dem doppelten Quadrate
der zugeh~6rigen Seite nur urn eine Einheit, urn welIche bald die
eine, bald die andere Zahi abwechselnd grbsser ist. Einen Beweis
ffir diesen Lehrsatz:
2. - 2a4,,2 ~ 1
wird man bei Theon vergeblich suchen, richtig aber ist er, wie die
Werthe a, =1, di= 1; a2=-2, d2 3; a3 =5, 63 =7; a,, 12,
4-= 17 u. s. w. zeigen. Ailgemein folgt aus den Definitionsgleichungen ffir a,, und cr,,, dass
1) Theon pag. 35, 17 etc. 2 Theon pag. 43,.5 etc. Nesselmann,
Algebra der Griechen S.*228-231 hat eine von unserer Auffassung verschiedene
Erklilrung dieser Stelle. Mit uns stimmnt dagegen iiberein Unger in einem Erfurter Gymnasialprogramm von 1843: Kurzer Abriss der Geschichte der Zahlenlehre von Pythagoras bis auf Diophant S. 17-19.