Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Geometrie und Trigonometrie bis za Ptolemilus.39

395

in seiner Ueberschrift als der Abbildung der bewolinten Erde auf
einer Ebenie gewidmet bezeichnet ist, so dass die Maasse der Lagenverha"Itnisse auf der Kugel beibehalten werden sollen. Versehiedene
Projektionusmethoden werden hier gelelirt, mit weichen Ptolemilus
audi in zwei arideren Schriften, dem Planisphaerium und dem
Analemma, sich besehiiftigt hat'). Ptolemiius benutzt vorzfiglich
die Projektion, bei weleher das Auge als im Pole befindlich gedaclit
wird und die Aequatorialebene die Zeichinungsebene bildet, die Projektion also, welcher Aiguillon 1613 den Namen der stereograpbischen beigelegt hat.
Schriften des Ptolemiius fiber die Harmonielelire, d. h. fiber die
VerhUiltuisse, welehe, wie man heute sagen wtirde, zwischen den.Schwingungszahlen der einzelnen Thnae stattfinden, mid fiber Optik2)
begufigen wir uris zu nennen, da sie der Geschiclite der Mathematik
nicht angehdOren. Von Arbeiten fiber Mechanik wissen wir nur fiberhaupt, dass sie vorhanden waren; Pappus, erwalint ihrer in seinem
VIII. Buche, Eutokius in semnen Erliiuterungen zu der archimedischen Schrift fiber das Gleichgewicht.
Dagegen hat uns Proklus Auszfige aus einem reingeometrischen
Buche des Ptolemilus fiberliefert3), welehe verdienen, dass wir bei
ihnen verweilen. Aus diesen Auszfigen geht hervor, dass Ptolem~ius
jedenfalls der erste Mathematiker war, von welehem bekannt geworden. ist, dass er das sogenanrite 11. Axiom des Euklid nicht
als, selbstverstiindlich betraclitet wissen wollte, dass er die zahulose
1Reihe derer er~6ffnet hat, weiche durch Versuche die Parallelentheorie
zu beweisen vergeblich sich abmiihten, bis im XIX. S. der unendlich
viel kfihnere Versuch auftauchte, die Parallelentheorie als anfechtbar
zu erkiaren nnd eine Geometrie zu schaffen, welche von ihr absehend
als anti -euklidische oder absolute Geometrie Geltung beansprucht.
Ptolemi~aus beweist zunkihst, dass Gerade, welche durch eine Transversale so gesehuitten werden, dass die Winkel auf derselbbn Seite
der Transversalen und auf entgegengesetzten Seiten der Geschnittenen
sich zn zwei Rechten ergjinzen, parallel sein mfissen, d. h. sich nicht
treffen (Fig. 73). Gesetzt apf und 76 schnitten sich in x, wahrend
die Winkel ~3 gi und 6,q~ sich zu zwei Rechten erg'ainzen. Wegen
des Satzes -fiber Nebenwinkel werden auch die Winkel a ij und y q~
')Diese Abliandlungen hat Commnandinus 1558 und 1562 iibersetzt und
herausgegeben. 2) VergI. Po ud ra, Ilistoire de la perspective. Paris, 1864,
pag. 28-32. Eine frifiher als Ptolemiius, De speculis bezeichnete Katoptrik
ist nicht von Ptolem~ius, sondern von Heron. S. Agrimensoren 18-19. 3) Proklus (ed. Friedlein) 362-368. V[ergI. L. Majer, Prokios iiber die Petita und
Axiomata bei Euklid. Tilbingen, Gymnasialprogramm 1875.